Desenvolupaments

En classificar les polièdriques (entre les quals s'inclouen els políedres regulars) figuraven dintre de les denominades desenvolupables. Això significa que la superfície exterior associada a cadascun d'ells pot estendre's sobre un pla.

Com que estan formats per polígons regulars, representar el seu desenvolupament no presenta cap més dificultat que la de dibuixar cadascuna de les seves cares en contacte amb les contigües; així ho hem realitzat per a cadascun d'ells en la figura 49.

Dodecàedre, estudi i representació

El dodecàedre és un políedre regular convex format per dotze cares, les quals són pentàgons regulars, (Fig. 26). Té vint vèrtexs i trenta arestes, i els seus angles políedres són tríedres.

En la seva geometria destaca la simetria. El seu centre geomètric o de gravetat és també el de simetria; així, cada vèrtex, aresta o cara té la seva simètrica o oposada en relació a aquest centre de la figura. Les arestes oposades són paral·leles i les cares oposades, a més de paral·leles, apareixen girades 180º una respecte a l'altra.

Si en el pentàgon existeix una relació àuria entre la diagonal d i l'aresta a, en el dodecàedre existeix aquesta relació entre la distància entre arestes oposades d_a i la diagonal d de cada una de les cares. Hi podem establir:

da/d=d/a=Φ≈1'618034

La secció principal és la produïda en el dodecàedre per un pla que conté dues arestes oposades, paral·leles entre si com acabem d'assenyalar. L'esmentada secció és un hexàgon irregular, representat en la figura anterior, en el que els dos costats paral·lels menors coincideixen amb l'aresta del políedre i la resta de costats, també paral·lels dos a dos, tenen per longitud l'altura dels polígons de les cares. La secció principal pot inscriure's en un quadrat el costat del qual és igual a la distància entre arestes oposades d_a.

Una altra secció característica en el dodecàedre és la produïda per un pla paral·lel a una de les seves cares. La secció és un pentàgon regular, el costat del qual coincideix amb la diagonal de les cares i la seva diagonal és la distància entre arestes oposades. Aquest pentàgon secció justifica la relació àuria entre la distància entre arestes oposades i la diagonal de les cares.

Representacions del dodecàedre

Dels dos últims políedres regulars n'efectuarem una única representació per a cadascun. Al dodecàedre el suposem situat amb una de les seves cares paral·lela o continguda en el pla horitzontal de projecció; la cara oposada també serà, lògicament, paral·lela. Coneixem una única dada del políedre que volem representar: la seva aresta.

Dibuixem, (Fig. 39), la projecció horitzontal del pentàgon regular ABCDE i de dues de les cares contigües, les que comparteixen entre si l'aresta BF; la representació efectuada d'aquestes últimes equival al seu abatiment sobre el PH, utilitzant per a això com a frontisses les arestes A'B' i B'C'. En desabatre les dues posicions del vèrtex (F), la intersecció de les perpendiculars a les respectives frontisses en definirà la projecció F' sobre el pla horitzontal. Per simetria respecte al centre del pentàgon ABCDE, definirem la posició de les projeccions horitzontals dels vèrtexs G, H, I i J; totes elles es troben sobre una circumferència, concèntrica amb la circumscrita a la cara A'B'C'D'E', on també es troben les projeccions dels vèrtexs K, L, M, N i O, formant un decàgon regular.

La cara superior del dodecàedre té per projecció horitzontal un pentàgon P'Q'R'S'T', centrat amb la projecció de la base inferior i desfasat 36º en relació amb ella. Completem la projecció horitzontal del políedre representant la resta d'arestes; les que parteixen dels vèrtexs de la base inferior són ocultes, mentre que les que parteixen dels vèrtexs de la base superior són vistes.

Per poder representar la projecció vertical, necessitem determinar les cotes dels seus diferents vèrtexs. Els vèrtexs de la base inferior, ABCD i E, els prendrem com a referent per determinar-ne els vèrtexs restants, i corresponen a la projecció vertical d'un pla horitzontal. La cota relativa z₁, comuna als vèrtexs F, G, H, I i J, la determinem mitjançant l'abatiment sobre el PH d'un triangle rectangle que té per hipotenusa l'aresta en veritable magnitud i, per catets, la projecció d'aquesta aresta i la cota buscada z₁; la figura 40 il·lustra en perspectiva els traçats descrits.

De forma similar busquem la cota relativa z₂ dels vèrtexs K, L, M, N i O; la figura 41 justifica el triangle rectangle abatut en la representació en planta, triangle que té per hipotenusa l'altura d'una de les cares i per catets, la projecció d'aquesta i la cota buscada z₂.

A partir del pla horitzontal, que defineixen les projeccions verticals dels vèrtexs anteriors, traslladem novament la cota z₁ per situar-hi el pla horitzontal en el qual es troben les projeccions verticals dels vèrtexs de la base superior P, Q, R, S i T.

Unint les projeccions verticals dels vint vèrtexs i estudiant la visibilitat de les arestes segons els allunyaments respectius, completarem la projecció vertical del políedre.

Hexàedre, estudi i representació

L'hexàedre és un políedre regular convex, les sis cares del qual són quadrats i els seus angles políedres són tríedres trirectangles. Cada un dels seus vuit vèrtexs és l'element comú a les tres cares i arestes que hi concorren, (Fig. 14).

Mitjançant el triangle rectangle de la figura 15, a partir de l'aresta a del cub podem determinar la diagonal d de cada una de les seves cares. Un segon triangle rectangle ens permet determinar la diagonal D del políedre.

La relació entre les tres magnituds anteriors la vèiem també en la representació del primer cub en perspectiva. A partir d'una d'aquestes, en podem determinar, gràficament, el segment representatiu de la lingitud de les altres dues; així, en la figura 16, coneixent la diagonal D del cub, resolem les longituds de l'aresta a i de la diagonal d de la cara:

• Amb centre en el punt mig del segment D tracem una semicircumferència, arc capaç de 90º el diàmetre de la qual sigui la longitud D.
• Dividim D en tres parts iguals i per la primera d'elles aixequem una perpendicular al segment D fins a tallar l'arc.
• Els catets del triangle rectangle format responen a les longituds buscades d'a i d.

La secció principal de l'hexàedre és la representada en la figura 17: un rectangle de costats a i d que, com veiem també en la figura 18, relaciona, en la forma indicada anteriorment, aquestes magnituds amb la diagonal D del cub. En la figura 19 indiquem les seccions produïdes per altres plans que, passant també pel centre geomètric del políedre, tenen una inclinació diferent a la del pla que ens produeix la secció principal.

Com vèiem en el tetràedre, els radis r i R de les esferes inscrita i circumscrita estan relacionats mitjançant un triangle rectangle, (Fig. 20):

• R és la hipotenusa d'un triangle rectangle que té per catets el radi r de l'esfera inscrita i el radi del polígon de la cara (1/2 de la diagonal d de la cara, per ser aquesta un quadrat).

Representacions de l'hexàedre

• Amb una cara recolzada o paral·lela a un dels plans de projecció
Amb una de les cares en la posició sol·licitada, l'oposada es projecta coincidint-hi, i les quatre restants són projectants respecte al pla horitzontal.

La projecció horitzontal és un quadrat de costat igual a l'aresta del cub, (Fig. 31); les quatre arestes perpendiculars als plans paral·lels al PH són verticals i, en tenir la seva projecció vertical en veritable magnitud, ens permeten completar-hi aquesta projecció.

En estudiar la visibilitat de la projecció vertical, recordem que les arestes que formen el contorn aparent del cos són sempre visibles; per conèixer la visibilitat de les arestes interiors, examinem la projecció horitzontal observant que, si mirem la figura segons la correspondència entre projeccions A' - A'', l'aresta BF és la primera que es veu, per tant, és visible en projecció vertical; per aquesta mateixa raó, l'aresta DH és oculta i la representem amb línia discontínua.

• Amb una cara situada en un pla qualsevol
Si coneixem el pla que conté una de les cares de l'hexàedre, podem trobar les projeccions dièdriques del políedre de forma similar a la utilitzada en la representació del tetràedre, amb una de les seves cares contingudes en un pla ABCD qualsevol, de la figura 29.

El pla ABC conté una de les cares del cub, de la qual coneixem l'aresta 1 - 2, (Fig. 32). Fem servir el costat AB com a frontissa per tal de realitzar l'abatiment del pla ABC respecte al pla horitzontal. Amb el pla abatut, el costat 1 - 2 està en veritable magnitud i podem traçar la cara 1234 en veritable magnitud.

Un canvi de pla vertical transforma el pla oblic inicial en un de cantell A₁''B₁'' - C₁'', al qual referim la cara 1234 de la base del cub. Per la nova projecció d'aquests punts, 1₁'', 2₁'', etc. tracem les perpendiculars al pla auxiliar que, donada la seva posició, seran rectes frontals. Sobre aquestes perpendiculars mesurem la longitud real de l'aresta del cub i completem d'aquesta forma la projecció vertical auxiliar.

Des de la projecció auxiliar referim els vèrtexs de la base superior a les perpendiculars a la frontissa traçades per 1', 2' etc. i obtenim les projeccions 5', 6', 7' i 8' corresponents a la projecció horitzontal de la cara superior del cub. Amb aquestes projeccions completem la projecció horitzontal de l'hexàedre.

Per representar la projecció vertical en la posició del pla ABC, determinem primer les projeccions verticals dels vèrtexs de la base inferior, utilitzant rectes auxiliars que, pertanyents al pla ABC, passin pels vèrtexs de la base. De la projecció vertical auxiliar prenem la cota relativa z corresponent al vèrtex 5₁'' respecte a la projecció vertical de A₁''B₁''; així determinem la projecció vertical 5'' que, unida amb 1'', ens dóna la projecció vertical d'una de les arestes laterals del cub.

El paral·lelisme entre les projeccions d'arestes paral·leles en l'espai ens ajuda en el traçat de les diferents arestes. L'estudi de la visibilitat, segons el punt de vista de cadascuna de les projeccions, completa les projeccions sol·licitades de l'hexàedre.

 

Icosàedre, estudi i representació

L'icosàedre és un políedre regular convex format per vint cares, totes elles triangles equilàters, (Fig. 27). Té dotze vèrtexs i trenta arestes, i els seus angles políedres són pentàedres. El políedre pot descompondre's en dues piràmides pentagonals, regulars i iguals, de bases paral·leles i en un sòlid prismàtic intermedi, de base pentagonal, limitat lateralment per deu triangles equilàters.

Com en el dodecàedre, la figura té un centre geomètric que també ho és de simetria; les arestes i cares oposades són paral·leles, i cada parell d'aquestes últimes estan girades 180º una en relació amb l'altra.

La secció principal és la produïda per un pla que, contenint el seu centre geomètric, passa per dues arestes oposades. Aquesta secció és un hexàgon irregular en el quals els dos costats paral·lels menors coincideixen amb l'aresta del políedre, i la resta de costats, també paral·lels dos a dos, coincideixen amb l'altura dels triangles de les cares. Com en el dodecàedre, podem traçar quinze seccions del tipus de la descrita.

Les seccions produïdes per dos plans perpendiculars a una de les diagonals del políedre, i que passen per algun dels seus vèrtexs, són dos pentàgons regulars de costat igual a l'aresta de l'icosàedre i desfasats 180º un en relació a l'altre. Si el pla perpendicular a una de les diagonals passa pel seu punt mig, el polígon secció és un decàgon de costat igual a la meitat de l'aresta del políedre.

Conegudes les principals característiques dels políedres regulars, en els pròxims apartats n'efectuarem la representació gràfica en les posicions més característiques respecte als plans de projecció.

Representacions de l'icosàedre

El representem amb la diagonal MN, que uneix dos dels seus vèrtexs oposats, perpendicular al pla horitzontal de projecció, (Fig. 42). En aquesta posició, els pentàgons ABCDE i FGHIJ, bases de les dues piràmides en què podem descompondre el políedre, tindran la projecció horitzontal en veritable magnitud per estar continguts en plans paral·lels al PH.

Determinar la projecció horitzontal del políedre suposa traçar dos pentàgons regulars centrats, de costats iguals a l'aresta de l'icosàedre, i desfasats 36º un en relació a l'altre. El seu punt central és la projecció horitzontal de la diagonal MN; punt que unim amb els corresponents vèrtexs dels dos pentàgons i amb la visibilitat que es desprèn de la diferència de cota entre M i N.

Per determinar la projecció vertical de l'icosàedre comencem per situar la projecció vertical del seu vèrtex de menor cota, N''; aquesta projecció ens serveix com a referent per situar les projeccions dels altres vèrtexs.

El pla horitzontal que defineixen les projeccions dels vèrtexs A'', B''... es troba a una cota relativa z₁ respecte a la cota d'N''; aquesta cota la determinem amb l'abatiment sobre el pla horitzontal del triangle rectangle que té per hipotenusa l'aresta de l'icosàedre i, per catets, la projecció d'aquesta aresta i la cota z₁ que pretenem determinar. La figura 43 descriu, en perspectiva, la construcció efectuada sobre la projecció horitzontal.

A partir del pla horitzontal anterior, busquem la cota z₂ d'un segon pla horitzontal, el que defineixen els vèrtexs F, G, H..., mitjançant un triangle rectangle similar al descrit que, en representació perspectiva, veiem en la figura 44. Per simetria de l'icosàedre, la cota d'M'' respecte al pla horitzontal FGH... torna a ser z₁.

Donada la posició de la planta respecte al pla vertical de projecció, les arestes vistes i ocultes queden confoses en una única projecció vertical, cosa que en facilita els traçats. D'aquesta posició també es desprèn que l'aresta ND és frontal, per tant també en podríem determinar la projecció vertical D'', sobre la lìnia de correspondència entre projeccions traçada per D', mitjançant un arc de centre N'' el radi del qual és la longitud real de l'aresta.

Octàedre, estudi i representació

L'octàedre és un políedre regular convex format per vuit cares, totes elles triangles equilàters (Fig. 21). Té sis vèrtexs i dotze arestes. Les cares oposades són paral·leles dues a dues i la distància entre elles és una magnitud que es determina a partir de la secció principal, i que utilitzarem en alguna de les seves representacions dièdriques.

Les tres diagonals són iguals i perpendiculars i es tallen en els seus punts mitjos, punts que coincideixen amb el centre geomètric del políedre. Coneguda l'aresta, podem determinar la longitud de la diagonal D mitjançant la construcció del triangle rectangle de la figura 22.

La secció principal és la intersecció de l'octàedre amb un pla que passa pel seu centre geomètric i per les altures de dos parells de cares oposades (Fig. 23). Aquesta intersecció és un rombe, el costat del qual coincideix amb l'altura h_c del triangle de les cares i les diagonals del qual són l'aresta a i la diagonal D de l'octàedre; la distància d_c entre costats oposats de la secció principal coincideix amb la mínima distància entre cares oposades de l'octàedre.

En la figura 24 disposem perpendicularment els valors coneguts d'aresta i diagonal, tallant-se en els seus respectius punts mitjos, per fixar la posició de les diagonals del rombe que ens permeten traçar la secció principal; en ella determinem el segment d_c de la distància entre cares. La figura 25, amb la representació de mitja secció principal, és una simplificació de l'anterior:

• Un triangle isòsceles de base a i altura la meitat de la diagonal, D/2. L'altura, traçada en relació a un dels costats iguals, coincideix amb la distància entre cares d_c i amb el diàmetre de l'esfera inscrita en l'octàedre.

Representacions de l'octàedre

Com en els políedres anteriors, suposem coneguda la seva aresta per obtenir les representacions següents:

• Amb una de les seves diagonals perpendicular al PH
Amb la diagonal EF representada com una recta vertical, (Fig. 36), el contorn aparent, A'B'C'D', de la projecció horitzontal és un quadrat de costat igual a l'aresta de l'octàedre. Les diagonals A'C' i B'D' tenen la mateixa longitud que la diagonal E''F'', totes elles en veritable magnitud. Respecte a la diagonal EF es projecten, horitzontalment, les vuit arestes restants de l'octàedre.

En projecció vertical, els vèrtexs E i F estan en els extrems de la diagonal corresponent, mentre que els altres quatre es troben sobre el pla mig de l'octàedre, horitzontal i de cota igual a la meitat de la longitud de la diagonal. Completem el traçat amb la representació de les arestes i l'estudi de la seva visibilitat en la forma acostumada.

• Amb una cara recolzada en el pla horitzontal
Comencem per representar la projecció horitzontal, (Fig. 37); el triangle A'B'F' hi està en veritable magnitud, corresponent a la projecció horitzontal de la cara continguda en el PH. La cara oposada, C'D'E', paral·lela a l'anterior i al PH, també està en veritable magnitud i es projecta horitzontalment segons un triangle equilàter desfasat 180º en relació a l'anterior. La unió de les projeccions dels sis vèrtexs defineix el contorn aparent i ens completa la projecció horitzontal.

En projecció vertical, les cares ABF i CDE es projecten com a dos plans horitzontals paral·lels, el segon dels quals té, respecte al primer, una cota relativa igual a la distància entre cares oposades. La determinem amb una construcció auxiliar, realitzada sobre la representació en planta: abatem sobre l'horitzontal el triangle rectangle que té per catets la distància entre cares i la projecció horitzontal de l'altura d'una cara, i per hipotenusa, la veritable magnitud d'aquesta última. Un segon triangle auxiliar ens determina també la distància entre cares, en funció de la veritable magnitud de l'aresta i de la seva projecció.

• Amb el pla mig situat en un pla donat
En el pla 123 donat, coneixem també les projeccions de l'aresta AB de l'octàedre, (Fig. 38). Girem el pla respecte a un eix de punta que passa pel vèrtex 1' - 1'', fins a col·locar-lo horitzontal i representem en veritable magnitud la secció A₁'B₁'C₁'D₁'. Al desfer el gir tindrem les projeccions, C'D' i C''D'', dels altres dos vèrtexs de la secció. Pel seu centre O' - O'' tracem la perpendicular r al pla de cantell; aquesta serà una frontal que, sobre la seva projecció vertical, mesurarem la veritable magnitud de la diagonal del políedre, per completar la posició dels vèrtexs E'' i F'' que referim a la projecció horitzontal de la recta r. L'estudi en la forma acostumada de la visibilitat de les arestes completa la representació sol·licitada.

Políedres regulars

Un políedre és una figura tridimensional tancada, formada per diferents plans que s'interseccionen entre si. Cada polígon format en la intersecció d'una cara amb les altres del políedre, defineix una de les cares del políedre. Els segments comuns a dues cares són les arestes, i la intersecció d'aquestes forma cada un dels vèrtexs del políedre.

Un políedre és regular quan les seves cares estan formades pel mateix polígon regular i els angles políedres són també iguals entre si. Tots els políedres regulars són convexos i en cada un d'ells existeix un centre geomètric únic que, a la vegada, és el centre de les esferes inscrita, circumscrita i tangent a les arestes del políedre. La primera és tangent a totes les seves cares en els punts centrals, i el seu diàmetre coincideix amb la distància entre cares oposades; la segona passa per tots els seus vèrtexs, mentre que la tercera és tangent a totes les arestes en els seus respectius punts mitjos, i el seu diàmetre és igual a la distància entre arestes oposades.

En la taula següent recollim les característiques geomètriques dels políedres regulars convexos:

En cada un dels políedres, el nombre de cares, vèrtexs i arestes estan relacionats per la fórmula d'Euler:

Núm. de cares + Núm. de vèrtexs = Núm. d'arestes + 2

 

Seccions planes i interseccions

Denominem secció plana a la intersecció d'un pla amb un cos.

En general, per determinar una secció plana qualsevol, haurem de buscar els punts d'intersecció de cadascuna de les arestes del cos amb el pla; aquests punts d'intersecció seran els vèrtexs del polígon secció.

• Secció plana d'un hexàedre per un pla qualsevol
Per determinar la secció que un pla produeix en una figura quan el pla és oblic als de projecció, podem procedir de dues maneres: determinant la intersecció de cadascuna de les arestes amb el pla, en una aplicació de la intersecció recta-cos que veurem en el pròxim apartat, o, més fàcilment, col·locant el pla en posició de pla projectant; d'aquesta segona manera, la secció que produeix el pla es veurà com una recta i la seva determinació és immediata, com ja hem vist en l'exemple anterior.

Suposem l'hexàedre representat en la figura 46 i en volem determinar la seva secció per un pla MNP, oblic als de projecció. En la direcció de la projecció horitzontal d'una de les rectes horitzontals del pla, efectuem un canvi de pla vertical que ens situï el pla MNP com un pla de cantell. En relació a la mateixa direcció determinem la nova projecció vertical del cub.

Els punts en què el segment M1'' - N1'' - P1'', projecció projectant del pla, talla les arestes de la nova projecció vertical són els vèrtexs del polígon secció; mitjançant les respectives línies de correspondència entre projeccions, passem els vèrtexs de la secció a les projeccions inicials del cub. En referir 1'', 2'', etc. utilitzem les cotes relatives de la projecció vertical auxiliar.

Si busquem la secció en veritable magnitud, abatrem respecte a un dels plans de projecció el pla MNP que la conté; abatiment que realitzem a partir de la posició del pla en la projecció auxiliar. Observem en la secció abatuda que les arestes produïdes com a intersecció d'un pla sobre dues cares paral·leles d'un mateix cos, són també paral·leles.

Tetràedre, estudi i representació

El tetràedre és un políedre regular convex, les quatre cares del qual són triangles equilàters. Cada un dels seus quatre vèrtexs és l'element comú a les tres cares i arestes que hi concorren (Fig. 10).

L'aresta i l'altura h del tetràedre es relacionen mitjançant un triangle rectangle que hem representat en la figura anterior; un triangle en el que la hipotenusa és l'aresta i els seus catets són l'altura i la projecció a' de l'aresta sobre una de les cares del políedre.

La secció principal és la intersecció del tetràedre amb un pla que passi per una de les seves arestes i pel seu centre geomètric (Fig. 11). Aquesta intersecció és un triangle isòsceles de base l'aresta a del tetràedre, els costats iguals del qual coincideixen amb l'altura h_c de cada una de les cares. En la secció principal, l'altura referida a l'aresta coincideix amb la mínima distància entre arestes oposades, d_a, del tetràedre.

Analitzades les característiques de la secció principal, podem construir-la de forma independent del políedre al qual pertany; així ho hem realitzat en la figura 12, coneguda l'aresta a del tetràedre:

• Amb l'aresta a com a costat, construïm el triangle equilàter ABC.
• Determinem l'altura h_c corresponent a la cara representada.
• El triangle isòsceles de base a i costats iguals a l'altura h_c, és la secció principal. L'altura d_a és la distància entre arestes oposades.

Essent r i R els radis, respectivament, de les esferes inscrita i circumscrita en el políedre, tots dos apareixen continguts i relacionats en la secció principal (Fig. 13):

• R és la hipotenusa d'un triangle rectangle que té per catets el radi r de l'esfera inscrita i el radi del polígon de la cara, equivalent aquest darrer a les 2/3 parts de l'altura de la cara h_c, per ser aquesta un triangle equilàter.

Representacions del tetràedre

• Amb una cara paral·lela o recolzada en un dels plans de projecció
En la representació de la figura 28, suposem el tetràedre amb una de les seves cares continguda en un pla horitzontal, per tant la seva projecció horitzontal estarà en veritable magnitud, triangle equilàter A'B'C' de costat igual a l'aresta del políedre; la projecció vertical A''B''C'' correspon a la projecció vertical d'un pla horitzontal, perpendicular a la línia de correspondència entre projeccions.

La projecció horitzontal del quart vèrtex, E', coincideix amb el centre geomètric de la cara projectada en veritable magnitud. Per situar la projecció vertical, E'', hem de trobar l'altura h del tetràedre; altura que determinem mitjançant una construcció auxiliar sobre la seva representació en planta, abatent el triangle rectangle format per l'aresta, la seva projecció ortogonal sobre la base i la pròpia altura. En aquest triangle, A'E' és el primer dels catets; la magnitud del segon, h, es determina sobre la perpendicular a l'anterior al situar com a hipotenusa una longitud igual a l'aresta a.

Conegudes les projeccions horitzontals i verticals dels quatre vèrtexs, en realitzem la seva unió parant especial atenció en la visibilitat de les arestes. Els contorns aparents són sempre visibles en la seva totalitat, mentre que la visibilitat de la resta d'arestes depèn de la direcció en què s'ha obtingut la projecció a la qual pertanyen.

• Amb una de les seves cares continguda en un pla qualsevol
Conegudes les projeccions del pla ABCD que conté una de les cares del tetràedre i la seva aresta 1 - 2, abatem el pla per poder-hi representar en veritable magnitud la cara continguda. En la figura 29 hem abatut el pla ABCD sobre l'horitzontal de projecció, representant-hi sobre la veritable magnitud la cara 1 - 2 - 3 (el segment 1' - 2' està en veritable magnitud per ser la projecció horitzontal d'un segment horitzontal). Sobre la cara abatuda determinem l'altura h del tetràedre, amb la construcció auxiliar utilitzada en la representació anterior d'aquest políedre.

Mitjançant una combinació de moviments obtenim la projecció vertical auxiliar A1'' - B1'' - C1'' de la que deduïm la cota relativa z₂ que ens permet determinar la projecció vertical 3''. Sobre la projecció auxiliar, amb l'altura h determinada del tetràedre, trobem la projecció auxiliar 4₁'', que referim a la projecció principal 4'; la cota relativa z₃ ens serveix per trobar 4''. La representació de les arestes en ambdues projeccions, d'acord amb la visibilitat corresponent, ens completa el traçat.

• Amb una aresta sobre el PH i l'oposada paral·lela
Tant l'aresta continguda en el PH com la seva paral·lela, tindran la projecció horitzontal en veritable magnitud; les seves projeccions A'B' i C'E' reflectiran la perpendicularitat existent entre elles en el tetràedre. El traçat del contorn aparent ens completa la projecció horitzontal, (Fig. 30).

Les projeccions verticals A''B'' i C''E'' corresponen a les projeccions verticals de dos segments horitzontals, el primer d'ells per sota de l'altre i amb una cota relativa entre ambdós igual a la mínima distància entre arestes oposades d_a. Trobem aquesta distància en la secció principal del tetràedre, o abatent en la representació en planta el triangle rectangle format per l'altura de la cara h_c, la seva projecció ortogonal sobre la base i la distància entre arestes oposades.

Sellos

Recursos