Construcció de l'el·lipse donats dos diàmetres conjugats

Com a la circumferència, a l'el·lipse un diàmetre és el segment que uneix dos dels seus punts i passen pel centre; lògicament no tots els diàmetres tenen la mateixa longitud. En l'el·lipse de la primera figura, el segment AB és un dels seus diàmetres; pel que fa a aquest diàmetre, i per qualsevol altre, sempre hi ha un diàmetre que anomenem conjugat del primer. En el nostre cas seria el diàmetre CD, traçat pel punt mitjà d'AB i paral·lel a les tangents de l'el·lipse que passen pels extrems d'AB.

Si coneixem un parell de diàmetres conjugats d'una el·lipse, AB i CD a la segona figura, també podem traçar-la. Començarem dibuixant un quadrilàter els costats del qual passin pels extrems dels diàmetres conjugats i siguin paral·lels a aquests; en relació amb un dels costats tracem una semicircumferència i el rectangle tangent que la circumscriu. En aquest rectangle, dibuixem dos radis que tallin la semicircumferència en els punts 1 i 2; per afinitat referim aquests punts al quadrilàter que hem traçat inicialment.

Des de 1 i 2 tracem paral·leles als costats del rectangle fins que determinem els punts M i N, i des d'aquests punts, paral·leles als costats del quadrilàter. Aquestes darreres paral·leles sobre les diagonals intercepten quatre punts de l'el·lipse; per aquests punts, i pels extrems dels dos diàmetres conjugats, passa la corba el traçat de la qual farem a mà alçada.

El procediment que acabem de veure també el podem utilitzar quan sabem els dos eixos de l'el·lipse, després de circumscriure-hi un rectangle.

Construcció de l'el·lipse per afinitat

Tracem dues circumferències amb uns diàmetres que coincideixin amb les longituds dels eixos de l'el·lipse i tracem una sèrie de radis comuns a les dues circumferències, vuit a la figura.

Pel punt de tall de cada radi amb la circumferència major tracem una paral·lela a l'eix menor, i pel punt de tall del mateix radi amb la circumferència menor, una paral·lela a l'eix major. La intersecció de les dues paral·leles és un punt de l'el·lipse.

Si repetim el procés amb tots els radis traçats, obtindrem un nombre suficient de punts que, juntament amb els quatre vèrtexs, ens permetran traçar la cònica.

Construcció de l'el·lipse per feixos projectius

Dibuixem el rectangle EFGH, pels extrems dels eixos, i amb els costats que siguin iguals als eixos donats de l'el·lipse. Dividim el semieix OA i la meitat AH del costat del rectangle en el mateix nombre de parts, quatre a la figura.

Les interseccions dels feixos D1 i C1, D2 i C2, D3 i C3, ens determinen punts de l'el·lipse. Si repetim el procés en els quadrants restants, obtindrem d'altres punts en cada un.

Com en els casos anteriors, la unió a mà alçada o amb plantilla dels vèrtexs amb els punts trobats ens permetrà completar el traçat de l'el·lipse.

Construcció de l'el·lipse per punts

Situem els eixos donats AB i CD, que, com que són eixos de simetria, es tallaran en els seus respectius punts mitjans. Si sabem quins eixos són, i aplicant la definició d'el·lipse, determinarem la posició dels focus, sabent que el radi és igual al semieix major; situarem el centre en un dels extrems de l'eix menor C o D, i traçarem dos arcs que en la intersecció amb l'eix major ens marcaran la posició F i F' dels focus.

 

Dividim l'espai entre els focus per una sèrie de divisions 1, 2, 3, etc.; si agafem dos radis iguals a les distàncies 1A i 1B, i situem el centre alternativament en els dos focus, descriurem vuit arcs de circumferència que, en les interseccions, ens determinaran vuit punts de l'el·lipse. Repetirem el procés amb les distàncies 2A i 2B, 3A i 3B per trobar nous punts de l'el·lipse; tots els punts que hàgim trobat segueixen la definició que s'ha donat d'el·lipse, ja que des de qualsevol d'aquests punts, les sumes de les distàncies als dos focus seran iguals a la longitud de l'eix real AB.

 

Finalment, unim els punts que hem obtingut amb els quatre vèrtexs de la corba, manualment o amb plantilles, per obtenir l'el·lipse.

Construcció de la hipèrbola

A partir dels eixos AB i CD, determinem els focus F i F'; per fer-ho, amb un radi igual a la distància AC, farem centre a O per tallar amb dos arcs la prolongació de l'eix AB en els punts F i F'.

Situem les divisions 1, 2, 3, etc. a partir d'un dels focus; amb radis iguals a les distàncies 1A i 1B, i posant els centres, alternativament, en els focus F i F', descrivim vuit arcs que quan es tallin ens determinaran quatre punts de la hipèrbola. Repetirem el procés amb radis iguals a les distàncies 2A i 2B, 3A i 3B; tots els punts obtinguts compleixen la definició d'hipèrbola perquè la diferència de les distàncies als focus és igual a l'eix real AB = 2a.

A mà alçada, com en les altres còniques, efectuarem el traçat de la hipèrbola unint els punts que s'obtenen prèviament.

Construcció de la paràbola donats el focus i la directriu

Situem a sobre del paper la directriu i el focus F de la paràbola que volem representar, segons les dades que sabem. Des del focus tracem la perpendicular a la directriu, perpendicular que correspon a l'eix de la cònica. El punt mitjà del segment FO, situat sobre l'eix, és el vèrtex V de la paràbola.

Per determinar els punts de pas de la paràbola dibuixem les paral·leles a la directriu 1, 2, 3, 4, etc.; sobre cada una d'aquestes paral·eles hi haurà dos punts de la paràbola que, com tots els seus punts, seran equidistants de la directriu i del focus. Agafem amb el compàs un radi igual a la distància de la paral·lela 1 de la directriu, i col·locant el centre en el focus F tracem dos arcs que tallaran la paral·lela 1 en dos punts de la paràbola.

Repetim el procés amb la distància de la paral·lela 2 a la directriu, i de les paral·leles restants; anirem trobant nous punts que, enllaçats a mà alçada o amb una plantilla de corbes, ens definiran la paràbola.

Construcció de la paràbola donats el vèrtex, l'eix i un dels seus punts

Des del vèrtex V i el punt donat P tracem, respectivament, una perpendicular i una paral·lela a l'eix que es tallaran en el punt A. Dividim els segments VA i PA en el mateix nombre de parts, quatre a la figura. Per les divisions del segment VA tracem paral·leles a l'eix de la paràbola i unim les divisions del segment PA amb el vèrtex V; els punts d'intersecció són punts de pas de la paràbola.

Completarem el traçat de la paràbola determinant els simètrics en relació amb l'eix de la corba, tant del punt P donat inicialment com dels punts que s'han trobat posteriorment.

El·lipse

L'el·lipse és una corba, tancada i plana, lloc geomètric dels punts del pla en què les sumes de les distàncies a dos punts fixos anomenats focus, F i F', és constant i igual a la longitud de l'eix major de la cònica.

Elements d'una cònica

A totes les corbes còniques, hi trobarem els elements següents, que descrivim de manera general, i amb les particularitats assenyalades per a cada una de les corbes:
• Eixos de simetria; l'el·lipse i la hipèrbola tenen dos eixos de simetria perpendiculars entre si. La paràbola té un sol eix de simetria.
• Vèrtexs; són els punts d'intersecció entre cada corba cònica i els seus respectius eixos.
• Centre; és el punt d'intersecció dels eixos.
• Focus; estan situats sobre un eix de simetria. Són els punts de contacte de les esferes inscrites en el con amb el pla secant que produeixen la secció cònica. L'el·lipse i la paràbola tenen dos focus, F i F', i la paràbola només en té un.
• Circumferència principal; és el lloc geomètric de les projeccions dels focus sobre les rectes tangents a la cònica; el seu centre és el de l'el·lipse o la hipèrbola, i amb un diàmetre igual a la longitud de l'eix major de la cònica.
• Circumferència focal; és el lloc geomètric dels punts simètrics d'un focus en relació amb les rectes tangents a la cònica; el seu centre és l'altre focus i el radi és igual a la longitud de l'eix major. En el cas de la paràbola, tant la circumferència focal com la principal tenen radi infinit.

Elements de l'el·lipse

Els elements que hem definit de manera general per a qualsevol corba cònica els concretem en la figura següent:
• Eixos; eix major o real, el segment AB, i eix menor o virtual, el segment CD. Tots dos es tallen pels punts mitjans i determinen el centre O.
• Vèrtexs; són els punts A, B, C i D. La longitud AB es representa amb 2a i de manera semblant la longitud CD, amb 2b. Les longituds a i b representen els semieixos major i menor, respectivament.
• Focus; són els punts F i F'. Sabent-ne els eixos podem determinar els focus posant el centre a C o D i amb un radi igual a la longitud a del semieix major traçar un arc que talli l'eix major en els punts F i F'. El vèrtex C, per pertànyer a l'el·lipse ha de complir la definició que es dóna com a lloc geomètric, per tant, la suma de les distàncies als focus CF i CF' ha de ser igual a la longitud 2a; en el nostre cas funciona perquè és CF = CF' = a. La distància entre els focus s'anomena distància focal de l'el·lipse i es representa el segment FF' com el 2c. En matemàtiques, a partir dels valors a, b i c es pot establir l'equació analítica de l'el·lipse.
• Circumferències focal i principal; traçades segons les definicions anteriors; de circumferències focals, en podem traçar dues, cada una de les quals tindrà el centre en cada un dels focus, i els radis seran iguals a la longitud 2a.

Elements de la hipèrbola

Els elements que s'han de tenir en compte en una hipèrbola, són:
• Eixos; l'eix real conté els vèrtexs (punts A i B d'intersecció entre l'eix i la cònica) i els focus. La mediatriu del segment AB és l'eix imaginari, a sobre del qual mesurem el segment CD, de valor 2b. Com a l'el·lipse, l'eix real es representa amb 2a. Tots dos són eixos de simetria de la hipèrbola.
• Focus; són els punts F i F', que s'hi ha fet referència a la definició de la hipèrbola, i que estan situats a l'eix real de la cònica. Es determinen col·locant el centre en el punt O d'intersecció dels dos eixos i amb un radi igual a la distància AC. El segment FF' és la distància focal i és igual a 2c. Els paràmetres a, semieix real, b, semieix imaginari, i c, semidistància focal, estan relacionats per l'expressió c2 = a2 + b2, que s'obté si s'aplica el teorema de Pitàgores.
• Circumferències focal i principal; podem traçar dues circumferències focals, cada una de les quals tindrà el centre en cada un dels focus, i els radis seran iguals a la longitud 2a. La circumferència principal té el centre a O i el radi és igual a la longitud del semieix real.
• Asímptotes; són rectes que passen pel centre O, la hipèrbola tendeix a aproximar-s'hi sense que sobrepassi mai la seva posició. Per determinar-ne la posició, des dels focus tracem tangents a la circumferència principal i obtindrem el punt T pel qual passarà una de les asímptotes. L'altra s'obté de la mateixa manera o per simetria de l'anterior en relació amb els eixos de la hipèrbola.

Elements de la paràbola

Els elements que s'han de tenir en compte en una paràbola, són:
• Eix; un sol eix de simetria que és perpendicular a la directriu, a sobre del qual hi ha el vèrtex i el focus de la paràbola.
• Vèrtex; és el punt A d'intersecció entre la paràbola i l'eix de simetria. Com tots els altres punts de la paràbola, equidista del focus i de la directriu.
• Focus; juntament amb la directriu són els dos elements fixos de referència en el traçat de la paràbola. La directriu és la forma que pren la circumferència focal a la paràbola perquè té un radi infinit.
• Paràmetre; és la distància que hi ha entre el vèrtex i la directriu, que coincideix amb la distància entre el vèrtex i el focus.

Generació de corbes còniques

Les corbes còniques s'obtenen com una secció plana d'un con de revolució.
Una superfície de revolució es genera pel moviment de rotació, al voltant d'un eix, d'una línia que s'anomena generatriu i de manera que els punts que la formen, durant tot el moviment, es mantenen a la mateixa distància de l'eix. Segons el tipus de generatriu i la posició que tingui en relació amb l'eix obtindrem, per exemple, les diverses superfícies de revolució de la figura següent.

La superfície cònica es genera pel moviment d'una generatriu recta al voltant d'un eix amb el qual es talla en un punt, que s'anomena vèrtex de la superfície cònica. L'angle amb què la generatriu talla l'eix és constant; l'espai delimitat per la superfície cònica és el volum, anomenat con de revolució. Per tant, es necessiten dos elements per generar una corba cònica: la superfície cònica de revolució i un pla secant que, segons la posició que tingui, determinarà les corbes còniques.

Hipèrbola

La hipèrbola és una corba, oberta i plana, lloc geomètric dels punts del pla en què les diferències de distàncies a dos punts fixos anomenats focus, F i F', és constant i igual a la longitud de l'eix major de la cònica. La hipèrbola està formada per dues branques simètriques respecte dels dos eixos de la corba.

Paràbola

La paràbola és una corba oberta i plana, lloc geomètric dels punts del pla equidistants d'un punt fix anomenat focus, F, i d'una recta que s'anomena directriu.

Sellos

Recursos