Construcció de l'espiral àuria

En el quadrat ABCD de la figura, situem el centre en el punt mitjà m del costat AB i, amb radi mC, tracem un arc que talla la prolongació d'AB en el punt E. A partir del punt E, construïm el rectangle auri AEFD; sobre el costat FE, fixem el punt H, de manera que FH tingui la mateixa longitud que FC.

Procedim de la mateixa manera per determinar, a l'interior de cada nou rectangle, un quadrat de costat igual al de menor longitud del rectangle. L'espiral àuria està formada per arcs tangents, cadascun dels quals és un quart de circumferència i està inscrit en els quadrats determinats prèviament. El primer té el centre a B i el radi BA; el següent té el centre a G i el radi GC, i així successivament fins a l'infinit.

Construcció de l'espiral de dos centres donat el pas

Sobre una recta, portem el segment AB, de longitud igual a la meitat del pas. El primer arc té el centre a B i el radi és igual al segment AB = P/2; el segon té el centre a A, i el radi és el pas P. Alternativament, repetim centres, B, A, B... i radis fins al final de l'arc anterior.

Construcció de l'espiral logarítmica

El pas d'aquesta espiral és variable perquè el seu desenvolupament segueix una progressió geomètrica. Sobre dos eixos ortogonals, prenem dues magnituds diferents OA i OB, i unim els extrems A i B. Per B, tracem una perpendicular al segment AB fins a tallar pel punt C l'eix horitzontal; per C, tracem una nova perpendicular al segment BC fins a tallar pel punt D l'eix vertical. Procedint de la mateixa manera obtenim els punts E, F, G, etc. Un cop localitzada la sèrie de punts pels quals passarà l'espiral, determinarem els centres dels arcs a la intersecció de les mediatrius de cada segment amb les bisectrius dels angles rectes de la línia poligonal.

Construcció de l'hèlice cilíndrica

Representem un rectangle de base igual al diàmetre de l'hèlice i d'altura, el seu pas; a sota, descrivim una circumferència de radi igual al diàmetre i en correspondència dièdrica amb la projecció anterior. Aquestes són les vistes o projeccions del cilindre.

Dividim la circumferència i l'altura del rectangle en el mateix nombre de parts, vuit a la figura. Per les divisions del rectangle, tracem paral·leles a la seva base i referim els punts de divisió de la circumferència a la projecció vertical, traçant per les mateixes paral·leles a l'eix del cilindre. Els punts respectius d'intersecció ens determinen punts: 1', 2', 3', etc., de la projecció vertical, traçant per les mateixes paral·leles a l'eix del cilindre de l'hèlice. La seva projecció horitzontal coincideix amb la projecció del cilindre (la circumferència traçada inicialment).

Construcció de l'hèlice cònica

Representem les projeccions dièdriques del con recte. En planta, descrivim una circumferència de diàmetre igual al de l'hèlice i, en alçat, un triangle isòsceles de base el diàmetre i d'altura igual al pas; totes dues vistes en correspondència dièdrica, com veiem a la figura.

Dividim la circumferència i l'altura del triangle en el mateix nombre de parts, vuit a la figura. Per les divisions del triangle, tracem paral·leles a la seva base, i dirigim els punts de divisió de la circumferència a la projecció vertical mitjançant generatrius convergents en els vèrtexs del con. Els punts respectius d'intersecció ens determinen punts: 1', 2', 3', etc., de la projecció vertical de l'hèlice. Per últim, referim aquests punts a les projeccions horitzontals de les generatrius corresponents del con. Així, es completen les dues projeccions de l'hèlice cònica.

Construcció de l'oval donat l'eix major

Dividim l'eix AB en tres parts iguals. D'aquesta manera, determinem els centres O1 i O2. Hi situem el centre i, amb un radi igual a un terç d'AB, tracem dues circumferències que es tallen en els punts O3 i O4. Les semirectes O3O1, O3O2, O4O1 i O4O2 determinen sobre les circumferències els punts de tangència T3, T4, T1 i T2. Amb el centre a O3 i el radi O3T3, tracem l'arc T3T4; amb el mateix radi, però amb el centre a O4, tracem l'arc T1T2 que ens completa l'oval.

Construcció de l'oval donat l'eix menor

Tracem una circumferència amb un diàmetre igual a l'eix menor CD donat. Els extrems C i D coincideixen amb els centres O1 i O2. Dibuixem un segon diàmetre perpendicular a l'anterior que, en la seva intersecció amb la circumferència, defineix els centres O3 i O4. Unim els centres per determinar sobre les semirectes els punts de tangència. Situem el centre a O1 i O2 i, amb un radi igual al segment CD, tracem els arcs majors; completem l'oval amb els arcs de centres O3 i O4, tangents als anteriors.

Construcció de l'oval donats els dos eixos

Dibuixem els eixos donats AB i CD de manera que es tallin pel seu punt mitjà O de cada un d'ells. Amb el centre a O i el radi igual al semieix major OA, tracem un arc fins a tallar per P la prolongació de OC.

Situem el centre a C, amb un radi CP, descrivim un arc que talla el segment AC pel punt Q. La mediatriu del segment AQ determina, amb els eixos o les seves prolongacions, els centres O1 i O2; a continuació, en fixem els simètrics en relació amb els eixos, els punts O3 i O4. Per últim, tracem els arcs de centres O1 i O3 i el radi O1A, i els centres O2 i O4 i el radi O2C, fins al seu enllaç en els punts de tangència determinats sobre aquestes rectes d'unió de centres.

Construcció de l'oval donats els dos eixos i el radi menor

Comencem dibuixant els eixos donats AB i CD, perpendiculars en el seu punt mitjà O. Des d'A i B, portem el radi de l'arc conegut r i situem sobre l'eix major els centres O1 i O2; fem el mateix des de l'extrem D de l'eix menor i hi determinem el punt P. Unim P amb el centre O1 i la mediatriu del segment que defineixen, a la intersecció amb l'eix CD, ens indica la posició del centre O3. El centre O4 és simètric d'O3 en relació amb l'eix major. Amb els quatre centres situats sobre els eixos, procedim a traçar l'oval com en els casos anteriors.

Construcció de l'oval inscrit en un rombe

Partim del rombe ABCD en el qual volem inscriure un oval. Pel vèrtex D de l'angle major, tracem perpendiculars als costats oposats, als quals tallen pels punts T1 i T2, i a la diagonal AC pels centres O1 i O2. Fem el mateix des del vèrtex B per completar els altres dos punts d'enllaç entre arcs. Amb el centre a D i el radi DT1, determinem l'arc T1T2; amb el mateix radi i el centre a B, en determinem també el simètric T3T4. Finalment, situem el centre a O1 i O2 per completar els dos arcs que ens completen l'oval.

Construcció de l'oval isomètric

L'anomenat oval isomètric és un cas particular de l'anterior; els angles majors del rombe han de ser de 120°, i de 60° els menors. A partir de la representació isomètrica d'un cub, hem traçat l'oval inscrit a cada una de les seves tres cares visibles.

Construcció de l'ovoide donat el diàmetre

Dibuixem una circumferència que tingui per diàmetre el valor donat AB com a diàmetre de l'ovoide. Els extrems A i B coincideixen amb els centres O2 i O3, i la seva mediatriu, en tallar-se amb la circumferència, ens determina el centre O4. Unim els punts O2 i O3 amb O4, i tracem els arcs AA', de centre O3, i BB', de centre O2; l'arc A'B', amb centre a O4, ens completa el traçat sol·licitat.

Construcció de l'ovoide donat l'eix de simetria

Dividim l'eix de simetria AB en sis parts iguals i hi tracem una perpendicular per la divisió dos. Situant el centre en aquesta divisió, tracem dues semicircumferències, una de radi 2-A i l'altra de radi igual a la distància 2-B. Aquesta última talla la perpendicular traçada en els punts O2 i O3, i la de radi menor (que ja forma part de l'ovoide final), en els punts M i N. Unim O2 i O3 amb la divisió cinc de l'eix AB. Situem el centre a O2, agafem com a radi el segment O2N i tracem l'arc NN'. El seu arc simètric MM' té el mateix radi i centre a O3. L'arc de centre O4 i el radi O4B ens completa el traçat de l'ovoide.

Construcció de l'ovoide donats l'eix i el diàmetre

Amb el diàmetre CD facilitat, dibuixem una circumferència i hi tracem un segon diàmetre AO2 perpendicular a l'anterior. A partir del punt A, portem la magnitud AB de l'eix de simetria de l'ovoide. Tracem una circumferència de centre O2 i radi O2B; des de C i cap a l'interior de la circumferència, portem una magnitud igual a O2B i obtenim el punt Q. La mediatriu de QO2, en tallarse amb el diàmetre CD o amb la seva prolongació, ens determina el centre O3. El centre O4 es simètric d'O3 en relació amb l'eix AB. Unim O3 i O4 amb O2 per determinar els punts d'enllaç entre arcs tangents C' i D'. Finalment, els arcs CC', de centre O3, i DD', de centre O4, ens completen l'ovoide.

Construcció de la voluta de diversos centres donat el pas

El pas donat coincideix amb el perímetre del polígon que serveix de nucli de l'espiral. A la primera figura el triangle equilàter té per costat 1/3 del pas p; prolonguem els costats i situem el centre de manera consecutiva als vèrtexs A, B i C. D'aquesta manera, descrivim els arcs. Les prolongacions dels costats contenen els punts d'enllaç entre arcs tangents. A partir de la primera volta, els arcs són concèntrics als ja traçats.

A la segona figura hem realitzat un traçat similar al descrit per a un nucli quadrat. Podem fer el mateix amb altres polígons regulars: pentàgon, hexàgon, etc.

Construcció de la voluta jònica

Partim d'una circumferència la longitud de la qual és igual al pas donat, i hi inscrivim un quadrat, des del qual tracem els segments que uneixen els seus punts mitjans. Dividim aquests segments en sis parts cada un i els enumerem tal com pot veure's a la figura. Després, tracem les diagonals del quadrat que, prolongades, són els punts d'unió entre arcs tangents. El primer arc té el centre a la divisió 1 i té com a radi la distància 1P fins al punt P' situat a la diagonal; seguim amb un arc de centre 2 i radi 2P' fins al punt P'', i així successivament amb els altres centres.

Corbes cícliques

Són corbes generades per les diferents posicions del moviment d'un punt, que pertany a una recta o a una circumferència, que roda sense lliscar sobre l'altra recta o circumferència. A la circumferència o recta que es mou se l'anomena ruleta o generatriu, i la recta o circumferència que serveix de base rep el nom de directriu.
En funció de les característiques anteriors tenim diferents tipus de corbes cícliques, les resumim en la taula següent:

Corbes guerxades

Són les descrites per un punt que es mou en plans diferents. Es caracteritzen perquè si considerem quatre dels seus punts, tan pròxims com es vulgui i presos a qualsevol part de la corba, no estaran mai situats al mateix pla.

Corbes planes

Tenen tots els seus punts en un mateix pla, com els ovals o les circumferències.

Corbes tècniques

A excepció de les corbes cícliques, la resta de les corbes tècniques són una ampliació de l'estudi de les tangències. Estan formades per diversos arcs de circumferència tangents entre si i poden ser tancades o obertes.

Epicicloide

L'epicicloide és la corba plana que descriu un punt situat sobre una circumferència (ruleta) que gira sense lliscar, mitjançant tangència exterior, sobre una altra circumferència a la que anomenem directriu.

Coneguda la circumferència generatriu o ruleta, situem sobre ella el punt P que, amb el moviment de rotació de la ruleta, ens descriurà punts de l'epicicloide.

Sobre la recta d'unió del centre O de la ruleta, amb el punt P, situem el centre O' de la circumferència directriu i efectuem el seu traçat. Dividim la ruleta en parts iguals i portem la longitud rectificada de cada una d'aquestes parts sobre la directriu, obtenint els punts 1, 2, 3... 12; la prolongació dels radis que fem passar per aquestes divisions, en la seva intersecció amb la circumferència de centre O' i radi igual al segment O'O, determinen els centres O1, O2, O3... O12 corresponents a les posicions intermitges de la ruleta en el seu desplaçament.

Tracem circumferències concèntriques amb la directriu que passen pels punts de divisió de la ruleta i, en tallar-se amb les posicions de la ruleta de centres O1, O2, O3... O12, ens determinaran els punts de pas P1, P2, P3... P12, corresponents a l'epicicloide normal.

Espiral

És una corba plana, oberta i contínua, descrita per un punt que dóna voltes al voltat d'un altre del qual s'allunya progressivament a cada volta. En una espiral hem de considerar els elements següents:
- Nucli: és el centre en relació amb el qual es genera l'espiral. Els nuclis poden ser lineals (quan els centres successius són sobre una recta) o poligonals (regulars o irregulars).
- Centres dels arcs: són els vèrtexs del nucli.
- Radis vectors: són les prolongacions dels costats del nucli. A sobre, s'hi produeix l'enllaç entre cada dos trams, tangents, d'espiral.
- Espira: és la corba compresa a cada volta.
- Pas: és la distància entre dues espires consecutives o la distància longitudinal que es desplaça un punt de la corba en una volta completa. És igual al perímetre del polígon del nucli.

Evolvent de la circumferència

S'anomena evolvent la corba plana descrita per un punt d'una recta, generatriu, que gira sense lliscar sobre una circumferència, anomenada circumferència base o directriu.

Per traçar-la, dividim la circumferència directriu en un nombre de parts iguals, dotze a la figura (l'evolvent serà més exacta com més parts fem sobre la circumferència). Per cada punt de divisió es tracen les tangents a la circumferència, portant sobre cada una d'elles longituds iguals a les rectificades dels arcs corresponents; donada la proximitat dels punts, aproximem la longitud de la corda a la del seu arc. Així fem centre en T1 i amb un radi igual a la distància T1T0 tracem l'arc A0A1; a continuació, amb centre a T2 i radi igual a la distància T2A1 tracem l'arc A1A2, prosseguint de la mateixa forma per completar els punts que resten A3, A4, A5, etc., de l'evolvent. La unió a mà alçada o mitjançant una plantilla de corbes dels punts determinats ens completa el traçat de l'evolvent.

Hèlice

La manera més fàcil de definir una hèlice és considerar-la com una corba enrotllada sobre la superfície d'un cilindre, d'un con de revolució o de mitja esfera. En general, és la corba descrita per un punt que es desplaça sobre la generatriu d'una superfície de revolució mentre que la generatriu gira al voltant del seu eix.

Hipocicloide

La hipocicloide és la corba plana que descriu un punt situat sobre una circumferència (ruleta) que gira sense lliscar, mitjançant tangència interior, sobre una altra circumferència a la que anomenem directriu.

Rectifiquem la longitud de la ruleta i la portem sobre la directriu, dividint ambdues circumferències en el mateix nombre de parts, dotze en la construcció de la figura. A partir d'aquí procedim com en l'epicicloide, fent el traçat interior a la directriu.

Oval

És una corba tancada, plana i convexa, amb aspecte d'el·lipse. Té dos eixos de simetria perpendiculars entre si; generalment està format per quatre arcs de circumferència, iguals dos a dos i tangents entre si en el punt d'enllaç, i els seus punts no constitueixen un lloc geomètric perquè els manca una propietat comuna a tots ells.

Donades totes les longituds dels eixos, podem traçar infinitat d'ovals que compleixen aquestes condicions. Disposem els segments AB i CD de manera que es tallin perpendicularment en els seus punts mitjos respectius. Situem els punts 1 i 2 a la mateixa distància de A i de C; la mediatriu del segment 1-2 intercepta, sobre l'eix vertical o la seva prolongació, el centre O de l'arc CC1; el punt 1, equidistant de A i de C1, és el centre de l'arc AC1. Els dos arcs traçats són tangents perquè els seus centres, els punts O i 1, estan alineats amb el punt C1 de tangència entre tots dos.

Amb altres posicions dels punts 1 i 2 obtenim ovals diferents; en tots els casos, i a partir dels dos arcs ja traçats, podem completar l'oval en els altres tres quadrants mitjançant simetries en relació amb els eixos.

Ovoide

És una corba tancada, plana i convexa, amb un aspecte que recorda la secció d'un ou d'ocell pel seu eix. Té un únic eix de simetria; està format per quatre arcs de circumferència tangents entre si en els punts d'enllaç; dos dels arcs tenen el mateix radi i són simètrics respecte de l'eix; dels altres dos que completen la figura, el més gran és una semicircumferència. El seu diàmetre, perpendicular a l'eix, s'anomena diàmetre de l'ovoide.
Els seus punts, com en l'oval, tampoc no constitueixen un lloc geomètric, ja que estan mancats d'una propietat comuna a tots ells.

Per a uns valors concrets de la longitud de l'eix de simetria i del diàmetre, trobem una infinitat d'ovoides que compleixen les condicions descrites, com es pot veure a la construcció de la figura. Disposem l'eix CD i el diàmetre AB, perpendicularment, i hi assenyalem els punts 1 i 2 a la mateixa distància, respectivament, d'A i de D. La mediatriu del segment 1-2 intercepta, sobre el diàmetre o la seva prolongació, la posició del centre O3 de l'arc AA1. El punt 2, equidistant de D i d'A1, és el centre O2 de l'arc A1D.

Amb altres posicions dels punts 1 i 2, obtenim ovoides diferents. En completem el traçat amb la semicircumferència del centre O1 i el radi O1A, i amb els arcs simètrics d'AA1 i A1D en relació amb l'eix de l'ovoide.

Voluta

És un element decoratiu en forma d'espiral. Les volutes, de dos en dos, són característiques en els capitells dels ordres arquitectònics clàssics com el jònic o el corinti. La voluta és una corba plana, oberta i contínua, formada per arcs de circumferència tangents entre si; els centres dels arcs són els vèrtexs del polígon que li serveix de nucli.

Sellos

Recursos