Contacto
Ayuda
Idioma/país

Octàedre, estudi i representació


L'octàedre és un políedre regular convex format per vuit cares, totes elles triangles equilàters (Fig. 21). Té sis vèrtexs i dotze arestes. Les cares oposades són paral·leles dues a dues i la distància entre elles és una magnitud que es determina a partir de la secció principal, i que utilitzarem en alguna de les seves representacions dièdriques.

Les tres diagonals són iguals i perpendiculars i es tallen en els seus punts mitjos, punts que coincideixen amb el centre geomètric del políedre. Coneguda l'aresta, podem determinar la longitud de la diagonal D mitjançant la construcció del triangle rectangle de la figura 22.

La secció principal és la intersecció de l'octàedre amb un pla que passa pel seu centre geomètric i per les altures de dos parells de cares oposades (Fig. 23). Aquesta intersecció és un rombe, el costat del qual coincideix amb l'altura hc del triangle de les cares i les diagonals del qual són l'aresta a i la diagonal D de l'octàedre; la distància dc entre costats oposats de la secció principal coincideix amb la mínima distància entre cares oposades de l'octàedre.

En la figura 24 disposem perpendicularment els valors coneguts d'aresta i diagonal, tallant-se en els seus respectius punts mitjos, per fixar la posició de les diagonals del rombe que ens permeten traçar la secció principal; en ella determinem el segment dc de la distància entre cares. La figura 25, amb la representació de mitja secció principal, és una simplificació de l'anterior:

• Un triangle isòsceles de base a i altura la meitat de la diagonal, D/2. L'altura, traçada en relació a un dels costats iguals, coincideix amb la distància entre cares dc i amb el diàmetre de l'esfera inscrita en l'octàedre.

Representacions de l'octàedre

Com en els políedres anteriors, suposem coneguda la seva aresta per obtenir les representacions següents:

Amb una de les seves diagonals perpendicular al PH
Amb la diagonal EF representada com una recta vertical, (Fig. 36), el contorn aparent, A'B'C'D', de la projecció horitzontal és un quadrat de costat igual a l'aresta de l'octàedre. Les diagonals A'C' i B'D' tenen la mateixa longitud que la diagonal E''F'', totes elles en veritable magnitud. Respecte a la diagonal EF es projecten, horitzontalment, les vuit arestes restants de l'octàedre.

En projecció vertical, els vèrtexs E i F estan en els extrems de la diagonal corresponent, mentre que els altres quatre es troben sobre el pla mig de l'octàedre, horitzontal i de cota igual a la meitat de la longitud de la diagonal. Completem el traçat amb la representació de les arestes i l'estudi de la seva visibilitat en la forma acostumada.

Amb una cara recolzada en el pla horitzontal
Comencem per representar la projecció horitzontal, (Fig. 37); el triangle A'B'F' hi està en veritable magnitud, corresponent a la projecció horitzontal de la cara continguda en el PH. La cara oposada, C'D'E', paral·lela a l'anterior i al PH, també està en veritable magnitud i es projecta horitzontalment segons un triangle equilàter desfasat 180º en relació a l'anterior. La unió de les projeccions dels sis vèrtexs defineix el contorn aparent i ens completa la projecció horitzontal.

En projecció vertical, les cares ABF i CDE es projecten com a dos plans horitzontals paral·lels, el segon dels quals té, respecte al primer, una cota relativa igual a la distància entre cares oposades. La determinem amb una construcció auxiliar, realitzada sobre la representació en planta: abatem sobre l'horitzontal el triangle rectangle que té per catets la distància entre cares i la projecció horitzontal de l'altura d'una cara, i per hipotenusa, la veritable magnitud d'aquesta última. Un segon triangle auxiliar ens determina també la distància entre cares, en funció de la veritable magnitud de l'aresta i de la seva projecció.

Amb el pla mig situat en un pla donat
En el pla 123 donat, coneixem també les projeccions de l'aresta AB de l'octàedre, (Fig. 38). Girem el pla respecte a un eix de punta que passa pel vèrtex 1' - 1'', fins a col·locar-lo horitzontal i representem en veritable magnitud la secció A1'B1'C1'D1'. Al desfer el gir tindrem les projeccions, C'D' i C''D'', dels altres dos vèrtexs de la secció. Pel seu centre O' - O'' tracem la perpendicular r al pla de cantell; aquesta serà una frontal que, sobre la seva projecció vertical, mesurarem la veritable magnitud de la diagonal del políedre, per completar la posició dels vèrtexs E'' i F'' que referim a la projecció horitzontal de la recta r. L'estudi en la forma acostumada de la visibilitat de les arestes completa la representació sol·licitada.

Imagen relacionada

Editorial Casals S.A.
Casp, 79, 08013 Barcelona
Sellos
Recursos
Internacional
Idioma/país
© 2007-2024 Editorial Casals, SA Tel. 902 107 007
Aviso legal