Hexàedre, estudi i representació

L'hexàedre és un políedre regular convex, les sis cares del qual són quadrats i els seus angles políedres són tríedres trirectangles. Cada un dels seus vuit vèrtexs és l'element comú a les tres cares i arestes que hi concorren, (Fig. 14).

Mitjançant el triangle rectangle de la figura 15, a partir de l'aresta a del cub podem determinar la diagonal d de cada una de les seves cares. Un segon triangle rectangle ens permet determinar la diagonal D del políedre.

La relació entre les tres magnituds anteriors la vèiem també en la representació del primer cub en perspectiva. A partir d'una d'aquestes, en podem determinar, gràficament, el segment representatiu de la lingitud de les altres dues; així, en la figura 16, coneixent la diagonal D del cub, resolem les longituds de l'aresta a i de la diagonal d de la cara:

• Amb centre en el punt mig del segment D tracem una semicircumferència, arc capaç de 90º el diàmetre de la qual sigui la longitud D.
• Dividim D en tres parts iguals i per la primera d'elles aixequem una perpendicular al segment D fins a tallar l'arc.
• Els catets del triangle rectangle format responen a les longituds buscades d'a i d.

La secció principal de l'hexàedre és la representada en la figura 17: un rectangle de costats a i d que, com veiem també en la figura 18, relaciona, en la forma indicada anteriorment, aquestes magnituds amb la diagonal D del cub. En la figura 19 indiquem les seccions produïdes per altres plans que, passant també pel centre geomètric del políedre, tenen una inclinació diferent a la del pla que ens produeix la secció principal.

Com vèiem en el tetràedre, els radis r i R de les esferes inscrita i circumscrita estan relacionats mitjançant un triangle rectangle, (Fig. 20):

• R és la hipotenusa d'un triangle rectangle que té per catets el radi r de l'esfera inscrita i el radi del polígon de la cara (1/2 de la diagonal d de la cara, per ser aquesta un quadrat).

Representacions de l'hexàedre

• Amb una cara recolzada o paral·lela a un dels plans de projecció
Amb una de les cares en la posició sol·licitada, l'oposada es projecta coincidint-hi, i les quatre restants són projectants respecte al pla horitzontal.

La projecció horitzontal és un quadrat de costat igual a l'aresta del cub, (Fig. 31); les quatre arestes perpendiculars als plans paral·lels al PH són verticals i, en tenir la seva projecció vertical en veritable magnitud, ens permeten completar-hi aquesta projecció.

En estudiar la visibilitat de la projecció vertical, recordem que les arestes que formen el contorn aparent del cos són sempre visibles; per conèixer la visibilitat de les arestes interiors, examinem la projecció horitzontal observant que, si mirem la figura segons la correspondència entre projeccions A' - A'', l'aresta BF és la primera que es veu, per tant, és visible en projecció vertical; per aquesta mateixa raó, l'aresta DH és oculta i la representem amb línia discontínua.

• Amb una cara situada en un pla qualsevol
Si coneixem el pla que conté una de les cares de l'hexàedre, podem trobar les projeccions dièdriques del políedre de forma similar a la utilitzada en la representació del tetràedre, amb una de les seves cares contingudes en un pla ABCD qualsevol, de la figura 29.

El pla ABC conté una de les cares del cub, de la qual coneixem l'aresta 1 - 2, (Fig. 32). Fem servir el costat AB com a frontissa per tal de realitzar l'abatiment del pla ABC respecte al pla horitzontal. Amb el pla abatut, el costat 1 - 2 està en veritable magnitud i podem traçar la cara 1234 en veritable magnitud.

Un canvi de pla vertical transforma el pla oblic inicial en un de cantell A₁''B₁'' - C₁'', al qual referim la cara 1234 de la base del cub. Per la nova projecció d'aquests punts, 1₁'', 2₁'', etc. tracem les perpendiculars al pla auxiliar que, donada la seva posició, seran rectes frontals. Sobre aquestes perpendiculars mesurem la longitud real de l'aresta del cub i completem d'aquesta forma la projecció vertical auxiliar.

Des de la projecció auxiliar referim els vèrtexs de la base superior a les perpendiculars a la frontissa traçades per 1', 2' etc. i obtenim les projeccions 5', 6', 7' i 8' corresponents a la projecció horitzontal de la cara superior del cub. Amb aquestes projeccions completem la projecció horitzontal de l'hexàedre.

Per representar la projecció vertical en la posició del pla ABC, determinem primer les projeccions verticals dels vèrtexs de la base inferior, utilitzant rectes auxiliars que, pertanyents al pla ABC, passin pels vèrtexs de la base. De la projecció vertical auxiliar prenem la cota relativa z corresponent al vèrtex 5₁'' respecte a la projecció vertical de A₁''B₁''; així determinem la projecció vertical 5'' que, unida amb 1'', ens dóna la projecció vertical d'una de les arestes laterals del cub.

El paral·lelisme entre les projeccions d'arestes paral·leles en l'espai ens ajuda en el traçat de les diferents arestes. L'estudi de la visibilitat, segons el punt de vista de cadascuna de les projeccions, completa les projeccions sol·licitades de l'hexàedre.

Imagen relacionada