Tetràedre, estudi i representació

El tetràedre és un políedre regular convex, les quatre cares del qual són triangles equilàters. Cada un dels seus quatre vèrtexs és l'element comú a les tres cares i arestes que hi concorren (Fig. 10).

L'aresta i l'altura h del tetràedre es relacionen mitjançant un triangle rectangle que hem representat en la figura anterior; un triangle en el que la hipotenusa és l'aresta i els seus catets són l'altura i la projecció a' de l'aresta sobre una de les cares del políedre.

La secció principal és la intersecció del tetràedre amb un pla que passi per una de les seves arestes i pel seu centre geomètric (Fig. 11). Aquesta intersecció és un triangle isòsceles de base l'aresta a del tetràedre, els costats iguals del qual coincideixen amb l'altura h_c de cada una de les cares. En la secció principal, l'altura referida a l'aresta coincideix amb la mínima distància entre arestes oposades, d_a, del tetràedre.

Analitzades les característiques de la secció principal, podem construir-la de forma independent del políedre al qual pertany; així ho hem realitzat en la figura 12, coneguda l'aresta a del tetràedre:

• Amb l'aresta a com a costat, construïm el triangle equilàter ABC.
• Determinem l'altura h_c corresponent a la cara representada.
• El triangle isòsceles de base a i costats iguals a l'altura h_c, és la secció principal. L'altura d_a és la distància entre arestes oposades.

Essent r i R els radis, respectivament, de les esferes inscrita i circumscrita en el políedre, tots dos apareixen continguts i relacionats en la secció principal (Fig. 13):

• R és la hipotenusa d'un triangle rectangle que té per catets el radi r de l'esfera inscrita i el radi del polígon de la cara, equivalent aquest darrer a les 2/3 parts de l'altura de la cara h_c, per ser aquesta un triangle equilàter.

Representacions del tetràedre

• Amb una cara paral·lela o recolzada en un dels plans de projecció
En la representació de la figura 28, suposem el tetràedre amb una de les seves cares continguda en un pla horitzontal, per tant la seva projecció horitzontal estarà en veritable magnitud, triangle equilàter A'B'C' de costat igual a l'aresta del políedre; la projecció vertical A''B''C'' correspon a la projecció vertical d'un pla horitzontal, perpendicular a la línia de correspondència entre projeccions.

La projecció horitzontal del quart vèrtex, E', coincideix amb el centre geomètric de la cara projectada en veritable magnitud. Per situar la projecció vertical, E'', hem de trobar l'altura h del tetràedre; altura que determinem mitjançant una construcció auxiliar sobre la seva representació en planta, abatent el triangle rectangle format per l'aresta, la seva projecció ortogonal sobre la base i la pròpia altura. En aquest triangle, A'E' és el primer dels catets; la magnitud del segon, h, es determina sobre la perpendicular a l'anterior al situar com a hipotenusa una longitud igual a l'aresta a.

Conegudes les projeccions horitzontals i verticals dels quatre vèrtexs, en realitzem la seva unió parant especial atenció en la visibilitat de les arestes. Els contorns aparents són sempre visibles en la seva totalitat, mentre que la visibilitat de la resta d'arestes depèn de la direcció en què s'ha obtingut la projecció a la qual pertanyen.

• Amb una de les seves cares continguda en un pla qualsevol
Conegudes les projeccions del pla ABCD que conté una de les cares del tetràedre i la seva aresta 1 - 2, abatem el pla per poder-hi representar en veritable magnitud la cara continguda. En la figura 29 hem abatut el pla ABCD sobre l'horitzontal de projecció, representant-hi sobre la veritable magnitud la cara 1 - 2 - 3 (el segment 1' - 2' està en veritable magnitud per ser la projecció horitzontal d'un segment horitzontal). Sobre la cara abatuda determinem l'altura h del tetràedre, amb la construcció auxiliar utilitzada en la representació anterior d'aquest políedre.

Mitjançant una combinació de moviments obtenim la projecció vertical auxiliar A1'' - B1'' - C1'' de la que deduïm la cota relativa z₂ que ens permet determinar la projecció vertical 3''. Sobre la projecció auxiliar, amb l'altura h determinada del tetràedre, trobem la projecció auxiliar 4₁'', que referim a la projecció principal 4'; la cota relativa z₃ ens serveix per trobar 4''. La representació de les arestes en ambdues projeccions, d'acord amb la visibilitat corresponent, ens completa el traçat.

• Amb una aresta sobre el PH i l'oposada paral·lela
Tant l'aresta continguda en el PH com la seva paral·lela, tindran la projecció horitzontal en veritable magnitud; les seves projeccions A'B' i C'E' reflectiran la perpendicularitat existent entre elles en el tetràedre. El traçat del contorn aparent ens completa la projecció horitzontal, (Fig. 30).

Les projeccions verticals A''B'' i C''E'' corresponen a les projeccions verticals de dos segments horitzontals, el primer d'ells per sota de l'altre i amb una cota relativa entre ambdós igual a la mínima distància entre arestes oposades d_a. Trobem aquesta distància en la secció principal del tetràedre, o abatent en la representació en planta el triangle rectangle format per l'altura de la cara h_c, la seva projecció ortogonal sobre la base i la distància entre arestes oposades.

Imagen relacionada