Icosàedre, estudi i representació

L'icosàedre és un políedre regular convex format per vint cares, totes elles triangles equilàters, (Fig. 27). Té dotze vèrtexs i trenta arestes, i els seus angles políedres són pentàedres. El políedre pot descompondre's en dues piràmides pentagonals, regulars i iguals, de bases paral·leles i en un sòlid prismàtic intermedi, de base pentagonal, limitat lateralment per deu triangles equilàters.

Com en el dodecàedre, la figura té un centre geomètric que també ho és de simetria; les arestes i cares oposades són paral·leles, i cada parell d'aquestes últimes estan girades 180º una en relació amb l'altra.

La secció principal és la produïda per un pla que, contenint el seu centre geomètric, passa per dues arestes oposades. Aquesta secció és un hexàgon irregular en el quals els dos costats paral·lels menors coincideixen amb l'aresta del políedre, i la resta de costats, també paral·lels dos a dos, coincideixen amb l'altura dels triangles de les cares. Com en el dodecàedre, podem traçar quinze seccions del tipus de la descrita.

Les seccions produïdes per dos plans perpendiculars a una de les diagonals del políedre, i que passen per algun dels seus vèrtexs, són dos pentàgons regulars de costat igual a l'aresta de l'icosàedre i desfasats 180º un en relació a l'altre. Si el pla perpendicular a una de les diagonals passa pel seu punt mig, el polígon secció és un decàgon de costat igual a la meitat de l'aresta del políedre.

Conegudes les principals característiques dels políedres regulars, en els pròxims apartats n'efectuarem la representació gràfica en les posicions més característiques respecte als plans de projecció.

Representacions de l'icosàedre

El representem amb la diagonal MN, que uneix dos dels seus vèrtexs oposats, perpendicular al pla horitzontal de projecció, (Fig. 42). En aquesta posició, els pentàgons ABCDE i FGHIJ, bases de les dues piràmides en què podem descompondre el políedre, tindran la projecció horitzontal en veritable magnitud per estar continguts en plans paral·lels al PH.

Determinar la projecció horitzontal del políedre suposa traçar dos pentàgons regulars centrats, de costats iguals a l'aresta de l'icosàedre, i desfasats 36º un en relació a l'altre. El seu punt central és la projecció horitzontal de la diagonal MN; punt que unim amb els corresponents vèrtexs dels dos pentàgons i amb la visibilitat que es desprèn de la diferència de cota entre M i N.

Per determinar la projecció vertical de l'icosàedre comencem per situar la projecció vertical del seu vèrtex de menor cota, N''; aquesta projecció ens serveix com a referent per situar les projeccions dels altres vèrtexs.

El pla horitzontal que defineixen les projeccions dels vèrtexs A'', B''... es troba a una cota relativa z₁ respecte a la cota d'N''; aquesta cota la determinem amb l'abatiment sobre el pla horitzontal del triangle rectangle que té per hipotenusa l'aresta de l'icosàedre i, per catets, la projecció d'aquesta aresta i la cota z₁ que pretenem determinar. La figura 43 descriu, en perspectiva, la construcció efectuada sobre la projecció horitzontal.

A partir del pla horitzontal anterior, busquem la cota z₂ d'un segon pla horitzontal, el que defineixen els vèrtexs F, G, H..., mitjançant un triangle rectangle similar al descrit que, en representació perspectiva, veiem en la figura 44. Per simetria de l'icosàedre, la cota d'M'' respecte al pla horitzontal FGH... torna a ser z₁.

Donada la posició de la planta respecte al pla vertical de projecció, les arestes vistes i ocultes queden confoses en una única projecció vertical, cosa que en facilita els traçats. D'aquesta posició també es desprèn que l'aresta ND és frontal, per tant també en podríem determinar la projecció vertical D'', sobre la lìnia de correspondència entre projeccions traçada per D', mitjançant un arc de centre N'' el radi del qual és la longitud real de l'aresta.

Imagen relacionada