Contacto
Ayuda
Idioma/país

Dodecàedre, estudi i representació


El dodecàedre és un políedre regular convex format per dotze cares, les quals són pentàgons regulars, (Fig. 26). Té vint vèrtexs i trenta arestes, i els seus angles políedres són tríedres.

En la seva geometria destaca la simetria. El seu centre geomètric o de gravetat és també el de simetria; així, cada vèrtex, aresta o cara té la seva simètrica o oposada en relació a aquest centre de la figura. Les arestes oposades són paral·leles i les cares oposades, a més de paral·leles, apareixen girades 180º una respecte a l'altra.

Si en el pentàgon existeix una relació àuria entre la diagonal d i l'aresta a, en el dodecàedre existeix aquesta relació entre la distància entre arestes oposades da i la diagonal d de cada una de les cares. Hi podem establir:

da/d=d/a=Φ≈1'618034

La secció principal és la produïda en el dodecàedre per un pla que conté dues arestes oposades, paral·leles entre si com acabem d'assenyalar. L'esmentada secció és un hexàgon irregular, representat en la figura anterior, en el que els dos costats paral·lels menors coincideixen amb l'aresta del políedre i la resta de costats, també paral·lels dos a dos, tenen per longitud l'altura dels polígons de les cares. La secció principal pot inscriure's en un quadrat el costat del qual és igual a la distància entre arestes oposades da.

Una altra secció característica en el dodecàedre és la produïda per un pla paral·lel a una de les seves cares. La secció és un pentàgon regular, el costat del qual coincideix amb la diagonal de les cares i la seva diagonal és la distància entre arestes oposades. Aquest pentàgon secció justifica la relació àuria entre la distància entre arestes oposades i la diagonal de les cares.

Representacions del dodecàedre

Dels dos últims políedres regulars n'efectuarem una única representació per a cadascun. Al dodecàedre el suposem situat amb una de les seves cares paral·lela o continguda en el pla horitzontal de projecció; la cara oposada també serà, lògicament, paral·lela. Coneixem una única dada del políedre que volem representar: la seva aresta.

Dibuixem, (Fig. 39), la projecció horitzontal del pentàgon regular ABCDE i de dues de les cares contigües, les que comparteixen entre si l'aresta BF; la representació efectuada d'aquestes últimes equival al seu abatiment sobre el PH, utilitzant per a això com a frontisses les arestes A'B' i B'C'. En desabatre les dues posicions del vèrtex (F), la intersecció de les perpendiculars a les respectives frontisses en definirà la projecció F' sobre el pla horitzontal. Per simetria respecte al centre del pentàgon ABCDE, definirem la posició de les projeccions horitzontals dels vèrtexs G, H, I i J; totes elles es troben sobre una circumferència, concèntrica amb la circumscrita a la cara A'B'C'D'E', on també es troben les projeccions dels vèrtexs K, L, M, N i O, formant un decàgon regular.

La cara superior del dodecàedre té per projecció horitzontal un pentàgon P'Q'R'S'T', centrat amb la projecció de la base inferior i desfasat 36º en relació amb ella. Completem la projecció horitzontal del políedre representant la resta d'arestes; les que parteixen dels vèrtexs de la base inferior són ocultes, mentre que les que parteixen dels vèrtexs de la base superior són vistes.

Per poder representar la projecció vertical, necessitem determinar les cotes dels seus diferents vèrtexs. Els vèrtexs de la base inferior, ABCD i E, els prendrem com a referent per determinar-ne els vèrtexs restants, i corresponen a la projecció vertical d'un pla horitzontal. La cota relativa z1, comuna als vèrtexs F, G, H, I i J, la determinem mitjançant l'abatiment sobre el PH d'un triangle rectangle que té per hipotenusa l'aresta en veritable magnitud i, per catets, la projecció d'aquesta aresta i la cota buscada z1; la figura 40 il·lustra en perspectiva els traçats descrits.

De forma similar busquem la cota relativa z2 dels vèrtexs K, L, M, N i O; la figura 41 justifica el triangle rectangle abatut en la representació en planta, triangle que té per hipotenusa l'altura d'una de les cares i per catets, la projecció d'aquesta i la cota buscada z2.

A partir del pla horitzontal, que defineixen les projeccions verticals dels vèrtexs anteriors, traslladem novament la cota z1 per situar-hi el pla horitzontal en el qual es troben les projeccions verticals dels vèrtexs de la base superior P, Q, R, S i T.

Unint les projeccions verticals dels vint vèrtexs i estudiant la visibilitat de les arestes segons els allunyaments respectius, completarem la projecció vertical del políedre.

Imagen relacionada

Editorial Casals S.A.
Casp, 79, 08013 Barcelona
Sellos
Recursos
Internacional
Idioma/país
© 2007-2024 Editorial Casals, SA Tel. 902 107 007
Aviso legal