Interseccions de plans

L'element comú a dos plans no paral·lels és una recta, intersecció de tots dos; aquesta recta queda definida quan coneixem dos dels seus punts, (Fig. 6). A projeccions dièdriques, el cas més fàcil, per tal de determinar-ne aquesta intersecció, és quan un dels plans és projectant horitzontal o vertical; ho veiem per a cadascun d'aquests plans, amb l'estudi de la visibilitat corresponent:

• Intersecció d'un pla oblic amb un altre de cantell
A la figura 7, hi determinem la intersecció entre dos plans: l'ABC que és un pla oblic qualsevol i el pla DEF, projectant vertical o de cantell. A la projecció vertical, els punts 1'' i 2'' són els únics punts comuns als dos plans i són aquests punts els que defineixen la projecció vertical i'' de la recta d'intersecció. Referint aquests punts a les projeccions horitzontals corresponents del triangle ABC, tindrem definida la projecció horitzontal i' de la recta d'intersecció.

Considerats opacs tots dos plans, la recta i d'intersecció separa les parts vistes i ocultes de cadascun dels plans. A la projecció horitzontal considerem únicament la part d'i' comuna als dos plans. Per estudiar la visibilitat a la projecció horitzontal, ens fixem en els punts 3' i 4', coincidents a aquesta projecció, i els referim a la projecció vertical situant-ne un a cadascun del dos plans; així comprovem que el pla DEF té més cota que el pla ABC i, per tant, en aquest punt, el primer tapa el segon a la projecció horitzontal. El punt 1', que pertany a la projecció horitzontal i' de la recta d'intersecció, divideix la part vista i oculta del costat A'B'; per tant, 1'B' serà vista i quedarà per sobre de l'altre pla.

A partir de la visibilitat del costat AB, ja podem deduir la visibilitat de la resta del conjunt format pels dos plans. Sempre podem considerar una nova parella de punts, amb projeccions horitzontals coincidents i dels quals compararem les cotes a la projecció vertical; així ho hem fet amb els punts 5' i 6', per tal de confirmar la visibilitat del conjunt.

• Intersecció d'un pla oblic amb un altre projectant horitzontal
Si un dels plans és projectant horitzontal, aquesta projecció ens serveix per determinar les projeccions de dos punts, 1' i 2', i que, referides a les projeccions corresponents de l'altre pla, ens completen les dues projeccions i' - i'' de la recta d'intersecció entre els dos plans; (Fig. 8).

L'estudi de la visibilitat de la projecció vertical es realitza comparant els allunyaments de parelles de punts coincidents a la projecció vertical; referint a projecció horitzontal els punts 3'' i 4'', comprovem que, en aquests punts, el pla ABC té més allunyament que el pla DEF; per tant, el primer dels plans està per davant i tapa el segon a la projecció vertical. Com al cas anterior, a partir del coneixement d'aquesta visibilitat parcial, ja podem completar la visibilitat del conjunt; si ho considerem necessari, podem tornar a comparar els allunyaments de noves parelles de punts coincidents a la projecció vertical.

A les Aplicacions pràctiques d'aquesta unitat veurem la determinació d'interseccions entre recta i pla, i entre plans, quan aquests no tinguin la posició favorable dels quatre casos que acabem de resoldre.

Imagen relacionada