Interseccions de recta i pla

L'element comú entre una recta i un pla, quan no són paral·lels ni coplanaris, és un punt com podem veure a la representació de la figura 3. En projeccions dièdriques, el cas més fàcil, per tal de determinar-hi aquesta intersecció, és quan el pla és projectant horitzontal o vertical; ho veiem per a cadascun d'aquests plans, amb l'estudi de la visibilitat corresponent:

• Intersecció d'una recta amb un pla de cantell
A la figura 4 determinem la intersecció entre el pla ABC, projectant vertical, i la recta r. La característica d'aquest pla, perpendicular al pla vertical de projecció, és que la projecció vertical de qualsevol element contingut en ell es troba a sobre del segment A''B''C'' (o de la seva prolongació). La projecció vertical I'' del punt d'intersecció buscat, per pertànyer simultàniament a la recta i al pla, ha d'estar necessàriament a la intersecció entre les respectives projeccions verticals. Des d'I'', i amb correspondència dièdrica, determinem I' damunt de la projecció r' de la recta.

Si considerem el pla opac, el punt I d'intersecció separa les parts vistes i ocultes de la recta r. Determinem la visibilitat a la projecció horitzontal, comparant les cotes de dos punts coincidents a aquesta projecció, un de la recta i l'altre del pla. Passem a la projecció vertical els punts 1' i 2', coincidents a la projecció horitzontal i que, a la projecció vertical, en situem un a la recta i l'altre al pla; així comprovem que el punt situat a la projecció vertical de la recta té menys cota que el situat al pla, per tant, en aquest punt, la recta està per sota del pla i, a la projecció horitzontal, quedarà tapada per aquest. A l'altre extrem de la recta, separat de l'anterior pel punt d'intersecció amb el pla, la visibilitat és oposada tal com comprovem al comparar les cotes dels punts 3' i 4', coincidents a la projecció horitzontal de recta i pla.

• Intersecció d'una recta amb un pla vertical
Quan el pla ABC és vertical, projectant horitzontal, trobem I' al punt d'intersecció entre r' i la projecció horitzontal del pla, (Fig. 5). I'' es troba en correspondència dièdrica amb I' i a sobre de la projecció vertical r'' de la recta.

L'estudi de la visibilitat de la projecció vertical es realitza comparant els allunyaments de dos punts coincidents a la projecció vertical; referint a la projecció horitzontal els punts 1'' i 2'', comprovem que, en aquest punts, la recta té més allunyament que el pla, per tant, està per davant i el tapa a la projecció vertical. Als punts coincidents 3'' i 4'', al comparar els allunyaments, és el pla qui està per davant de la recta i, a la projecció vertical, l'ocultarà.

Imagen relacionada