Angles amb els plans de projecció de rectes

• Angle entre recta i pla de projecció
Quan una recta és paral·lela a un dels plans de projecció, a més a més de tenir la seva projecció sobre aquest pla en veritable magnitud, l'angle que aquesta projecció forma amb les línies de correspondència entre projeccions coincideix amb l'angle que la recta forma amb el pla de projecció al qual no és paral·lela.

Així, en una recta horitzontal, en la projecció h' podem llegir la veritable magnitud de l'angle que aquesta recta forma amb el pla vertical. Anàlogament, en una frontal, l'angle entre f'' i les línies de correspondència entre projeccions, coincideix amb l'angle que la recta forma amb el pla horitzontal de projecció.

Angles entre dos plans

La figura formada per dos plans α i β que es tallen en un segment i s'anomena angle díedre, (Fig. 28); els plans α i β són les seves cares i el segment i, la seva intersecció, és l'aresta de l'angle díedre. A l'angle ATB, amb els seus costats perpendiculars a l'aresta i i continguts en cada una de les cares del díedre, se'l denomina angle rectilini i és l'expressió de l'angle format pels plans α i β. Per precisar-ne el seu valor, una de les formes possibles és procedir de la manera següent:

• Des d'un punt P exterior, tracem les perpendiculars a cada una de les cares del díedre, establint-ne la seva intersecció, punts A i B.
• En el quadrilàter APBT, els angles amb vèrtexs en els punts A i B són de 90º, pel que els altres dos angles seran suplementaris.
• L'angle APB és l'angle de dues rectes que es tallen, que determinarem de la forma explicada a l'apartat anterior. Conegut en veritable magnitud, el seu suplementari serà l'angle rectilini corresponent al díedre format pels dos plans.

Una segona forma de trobar el valor d'aquest angle és buscant la posició favorable dels plans α i β, de forma que l'angle γ pugui trobar-se directament o amb un nombre mínim d'operacions.

Si els plans α i β són projectants verticals, l'aresta i, una recta de punta i l'angle entre els traçats verticals dels dos plans correspondrà a l'angle que hi ha entre ells en veritable magnitud.

En la figura 30 resolem el problema amb els plans situats en aquesta posició favorable: recta intersecció dels dos plans com a recta de punta. Dels dos angles diferents formats per la intersecció de les projeccions projectants dels dos plans, el menor d'ells és el que donarem com a angle entre els dos plans.

Angles entre dues rectes que es creuen

L'angle entre dues rectes que es creuen és igual a l'angle que forma una de les rectes amb la paral·lela a l'altra, traçada per un dels punts de la primera. Pel punt P de r, (Fig. 45), tracem s₁ paral·lela a la recta s; r i s₁ defineixen el pla α que, abatut sobre un dels de projecció, ens donarà la veritable magnitud de l'angle format per les rectes r i s que es creuen en l'espai.

En la figura 46 ho resolem sobre les projeccions dièdriques de les dues rectes. Per P' - P'' tracem les projeccions de la recta s₁, paral·lela a s. Una de les horitzontals del pla que formen r i s₁ és la frontissa entorn de la qual efectuem l'abatiment. L'angle δ, el menor dels que formen les projeccions abatudes (r) i (s₁), és l'angle buscat.

Angles entre dues rectes que es tallen

Dues rectes r i s que es tallen defineixen un pla que, abatut, ens donarà la veritable magnitud dels elements que conté. L'abatiment, (Fig. 27), el realitzem respecte a un pla paral·lel a l'horitzontal de projecció mitjançant el procés següent:

• A qualsevol cota tracem la projecció vertical, h'', d'una de les rectes horitzontals del pla format per les rectes r i s. Referim els seus punts d'intersecció amb r'' i s'' a les seves projeccions horitzontals r' i s', determinant així la projecció horitzontal h' que utilitzarem com a frontissa de l'abatiment.
• Per la projecció horitzontal P' del punt d'intersecció entre les dues rectes, hi tracem la paral·lela i la perpendicular a la frontissa. Sobre la paral·lela, hi portem la cota relativa z del punt P, mesurada en relació amb h''; sobre la perpendicular, hi determinarem la posició abatuda del punt (P).
• Per (P) i pels punts dobles d'intersecció de les projeccions r' i s' amb la frontissa, hi passaran les rectes abatudes (r) i (s). El menor dels angles que formen, γ, és el valor que donarem com a solució del problema plantejat.

Angles entre elements. Posicions favorables

L'angle entre dos elements té també una posició favorable que en facilita la seva determinació, així com la seva veritable magnitud.

Cada un dels casos de determinació d'angles entre elements simples té una posició favorable que en facilita la seva resolució; la taula següent ens resumeix aquestes posicions:

Angles entre recta i pla

L'angle que una recta r forma amb un pla α, (Fig. 31), és l'angle β que aquesta forma amb la seva projecció ortogonal sobre el pla. Per trobar el seu valor, una de les formes possibles és procedir de la manera següent:

• Des d'un punt A qualsevol de la recta r, tracem la perpendicular s al pla α, determinant el punt d'intersecció J amb aquest.
• El triangle AIJ és rectangle, pel que els seus dos angles aguts són complementaris.
• L'angle IAJ és l'angle de dues rectes que es tallen, i que trobarem procedint de la forma explicada en l'apartat 3.1; conegut en veritable magnitud, el seu complementari serà l'angle format entre la recta i el pla.

Una segona forma de trobar el valor d'aquest angle β és buscant la posició favorable del pla α i de la recta r, de forma que β pugui trobar-se directament o amb un nombre mínim d'operacions. Com veiem en la representació de la figura 32, si el pla és horitzontal i la recta és paral·lela al vertical de projecció, l'angle entre les projeccions verticals de la recta i el pla coincidirà amb el valor real de l'angle entre recta i pla. Una altra posició favorable seria amb el pla paral·lel al vertical de projecció i amb la recta horitzontal.

En la figura 33, treballant només amb les projeccions dièdriques, resolem el problema amb la recta i el pla disposats en la primera de les posicions favorables descrites. El menor dels dos angles formats entre la projecció A''B''C'' del pla i la projecció r'' de la recta és l'angle que, finalment, donarem com a solució a la qüestió plantejada d'angle entre recta i pla.

Distàncies entre dos punts

En la majoria dels casos, el segment que defineixen dos punts és un segment oblic, pel qual cap de les seves projeccions no reflecteix la distància real existent entre ells: segments A'B' i A''B'' de la figura 9. La projecció sobre un pla al qual el segment AB sigui paral·lel ens donarà la seva veritable magnitud; aquesta posició és la que denominem favorable i la podem aconseguir de dues maneres:

• Girant el segment fins que quedi paral·lel a un dels plans de projecció.
• Definint un nou pla de projecció paral·lel a la posició espacial del segment AB.

D'aquesta segona manera s'ha resolt en la figura 9, definint un nou pla vertical paral·lel al segment, que en recollirà la projecció en veritable magnitud. El canvi de pla efectuat en la figura 10 ens determina, en projeccions dièdriques, la veritable magnitud del segment AB.

Distàncies entre elements. Posicions favorables

Cada problema de distàncies té una posició favorable que en facilita la seva resolució.

En la taula següent, hi resumim les posicions favorables que permeten resoldre els problemes de distàncies amb un nombre mínim d'operacions, com ja hem vist en els apartats corresponents dels Coneixements teòrics.

Distàncies entre plans paral·lels

La distància entre dos plans paral·lels és el segment de perpendicular comuna compresa entre ells. En un cas general de dos plans qualssevol, oblics als de projecció, trobar-hi aquesta distància implicaria, (Fig. 21):

• Traçar una recta r perpendicular als dos plans.
• Determinar la intersecció d'aquesta recta amb cada un.
• El segment de perpendicular compresa entre els plans, segment AB, seria la distància entre ells, distància des de la qual hauríem de determinar la veritable magnitud.

Si els plans paral·lels són també verticals, és a dir, perpendiculars a l'horitzontal de projecció, la recta r, perpendicular a ambdós, serà horitzontal.

La resolució descrita en els paràgrafs i figures anteriors s'ha realitzat en projeccions dièdriques, i amb els plans en posició favorable, en la figura 23.

• Els dos plans α i β són projectants horitzontals i ens vénen donats per dues rectes que es tallen. La recta r, perpendicular a ambdós plans, és una recta horitzontal per ser aquests verticals; traçarem r'' a qualsevol cota i r', perpendicular a les projeccions horitzontals dels dos plans.

• Els plans són projectants horitzontals, pel que A' i B', únics punts comuns a la recta i els plans, són les projeccions horitzontals dels punts d'intersecció entre la recta i els plans. El segment A'B' coincideix amb la veritable magnitud de la distància buscada.

Distàncies entre punt i pla

La figura 11 recull el procés a seguir per determinar la distància des d'un punt P a un pla α:

• Traçar pel punt P la perpendicular r al pla.
• Determinar la intersecció I de r amb el pla α.
• El segment PI és la distància buscada.

Aquest procés se simplifica notablement depenent de la posició del pla α respecte als de projecció. Si el pla és perpendicular a un dels plans de projecció, al vertical en la figura 12, la recta r, perpendicular a ell i traçada des del punt P, serà paral·lela al PV i tindrà la seva projecció sobre aquest pla en veritable magnitud.

Amb el pla ABC en la posició favorable descrita, els traçats realitzats sobre les projeccions dièdriques, (Fig. 13), són:

• La recta r, perpendicular al pla de cantell, és frontal; les seves projeccions són les corresponents a aquest tipus de recta, amb la projecció vertical r'' perpendicular a la projecció vertical del pla.
• La intersecció entre la recta r i el pla ABC, perquè és aquest projectant vertical, es determina directament en la intersecció entre r'' i la projecció vertical del pla, punt I'' (únic punt que, simultàniament,pertany a la recta i al pla).
• El segment PI és la distància buscada i, al ser frontal, té la projecció vertical d'' en veritable magnitud.

Distàncies entre punt i recta

Quan r és una recta obliqua, per traçar-li la perpendicular des d'un punt P, haurem de traçar un pla auxiliar α que, passant pel punt, sigui perpendicular a la recta, (Fig. 14); totes les rectes d'aquest pla seran perpendiculars a r. La intersecció del pla α amb la recta r és el punt I que, unit a P, ens determina un segment perpendicular a r i que correspon a la distància buscada.

Però si la recta r és perpendicular a un dels plans de projecció, al vertical en la figura 15, el traçat se simplifica. Ara podem traçar directament des de P la perpendicular a r. El segment PI i el pla vertical són perpendiculars a r, pel que ambdós seran paral·lels i la projecció de PI sobre el pla vertical estarà en veritable magnitud.

Amb r en la posició descrita de recta de punta, (Fig. 16), li tracem des de P la perpendicular PI: en projecció horitzontal la perpendicular a r' des de P' i en projecció vertical el segment P'' - r'', coincident aquest últim amb la veritable magnitud de la distància buscada.

Una altra posició favorable de la recta per determinar la distància existent des d'un punt seria la de recta vertical, i la construcció a realitzar, molt similar a l'anterior. Si la recta, simplement, és paral·lela a un dels plans de projecció sense ser perpendicular a l'altre, podríem traçar la perpendicular des del punt, com veiem en la figura 17, però el segment resultant d' - d'' no tindria cap de les seves projeccions en veritable magnitud.

Distàncies entre rectes paral·leles

Dues rectes paral·leles defineixen un pla que, abatut sobre algun dels de projecció o sobre un altre pla paral·lel a ells, en determinarà una posició amb veritables magnituds sobre la qual podrem mesurar la distància real existent entre les dues rectes. A la figura 18 hem realitzat l'abatiment, sobre el pla vertical de projecció, del pla format per les dues rectes paral·leles.

• Una frontal f' - f'' qualsevol, pertanyent al pla format per les dues rectes, ens serveix de frontissa per realitzar l'abatiment sobre el pla vertical de projecció.
• Per A'', projecció vertical del punt A de la recta r, tracem la paral·lela i la perpendicular a la frontissa; sobre la paral·lela, hi portem l'allunyament relatiu a d'aquest punt respecte a la frontal f. La hipotenusa del triangle rectangle format és el radi de gir per determinarne la posició abatuda (A).
• Els punts en què r'' i s'' tallen la frontissa són punts dobles; el primer d'ells 1'', unit amb (A), ens defineix la posició abatuda de la recta (r). Les dues rectes seguiran paral·leles en l'abatiment, on mesurarem la distància real existent entre ambdues.

La mateixa qüestió la podem resoldre buscant la posició favorable de les rectes paral·leles que, per raons similars a les exposades en subapartats anteriors, serà amb les dues rectes perpendiculars a algun dels plans de projecció, (Fig. 19).

Finalment, en la figura 20, resolem la distància entre les rectes paral·leles a partir de les seves projeccions dièdriques i un cop situades aquestes en posició favorable. Pel teorema de les tres perpendiculars, el segment d, perpendicular a les dues rectes, és perpendicular a les seves projeccions horitzontals, sent per tant un segment frontal, la projecció vertical d'' (unió de r'' i s'') de la qual coincidirà amb la distància real entre les rectes paral·leles.

Distàncies entre rectes que es creuen

Dues rectes r i s que es creuen en l'espai estan separades una distància d que coincideix amb el segment que és perpendicular, simultàniament, a ambdues rectes. Mitjançant una representació en perspectiva, en la figura 24, descrivim un dels processos gràfics més habituals per determinar-ne la distància:

• Per un punt P qualsevol situat en una de les rectes, la r en la figura, tracem una paral·lela a la segona recta s. Aquesta paral·lela, s₁, junt amb r defineixen el pla α paral·lel a s.
• Projectem s sobre el pla α. Des d'un qualsevol dels seus punts, M, tracem la perpendicular a α; per la intersecció M' d'aquesta perpendicular amb el pla α, tracem la recta s₂ paral·lela a s.
• Les rectes r i s₂ són coplanàries i es tallen en el punt A; la perpendicular al pla traçada per A tallarà la recta s en un punt B. El segment AB és la perpendicular comuna coincident amb la distància entre les dues rectes.

Com en els casos anteriors, per determinar aquesta distància existeix també una posició favorable que en simplifica el nombre d'operacions que caldria fer. Si una de les rectes és perpendicular a algun dels plans de projecció, recta r perpendicular al pla vertical en la representació de la figura 25, i sigui quina sigui la posició de la segona recta, la perpendicular comuna, des del punt de vista de la recta r, ha de ser, obligatòriament, una recta frontal la perpendicularitat de la qual amb la recta s serà visible en les respectives projeccions verticals.

En projeccions dièdriques i amb les rectes en la posició favorable que acabem de justificar, el traçat és molt senzill, (Fig. 26):

• Per r'' tracem la perpendicular a la projecció vertical s'' de la segona recta; la seva intersecció és el punt B''. El segment r''B'' és la veritable magnitud de la distància buscada.

• Referint B'' a la projecció horitzontal de la recta s, tracem d' perpendicularment a r' per tenir la projecció horitzontal de la distància.

Interseccions de plans

L'element comú a dos plans no paral·lels és una recta, intersecció de tots dos; aquesta recta queda definida quan coneixem dos dels seus punts, (Fig. 6). A projeccions dièdriques, el cas més fàcil, per tal de determinar-ne aquesta intersecció, és quan un dels plans és projectant horitzontal o vertical; ho veiem per a cadascun d'aquests plans, amb l'estudi de la visibilitat corresponent:

• Intersecció d'un pla oblic amb un altre de cantell
A la figura 7, hi determinem la intersecció entre dos plans: l'ABC que és un pla oblic qualsevol i el pla DEF, projectant vertical o de cantell. A la projecció vertical, els punts 1'' i 2'' són els únics punts comuns als dos plans i són aquests punts els que defineixen la projecció vertical i'' de la recta d'intersecció. Referint aquests punts a les projeccions horitzontals corresponents del triangle ABC, tindrem definida la projecció horitzontal i' de la recta d'intersecció.

Considerats opacs tots dos plans, la recta i d'intersecció separa les parts vistes i ocultes de cadascun dels plans. A la projecció horitzontal considerem únicament la part d'i' comuna als dos plans. Per estudiar la visibilitat a la projecció horitzontal, ens fixem en els punts 3' i 4', coincidents a aquesta projecció, i els referim a la projecció vertical situant-ne un a cadascun del dos plans; així comprovem que el pla DEF té més cota que el pla ABC i, per tant, en aquest punt, el primer tapa el segon a la projecció horitzontal. El punt 1', que pertany a la projecció horitzontal i' de la recta d'intersecció, divideix la part vista i oculta del costat A'B'; per tant, 1'B' serà vista i quedarà per sobre de l'altre pla.

A partir de la visibilitat del costat AB, ja podem deduir la visibilitat de la resta del conjunt format pels dos plans. Sempre podem considerar una nova parella de punts, amb projeccions horitzontals coincidents i dels quals compararem les cotes a la projecció vertical; així ho hem fet amb els punts 5' i 6', per tal de confirmar la visibilitat del conjunt.

• Intersecció d'un pla oblic amb un altre projectant horitzontal
Si un dels plans és projectant horitzontal, aquesta projecció ens serveix per determinar les projeccions de dos punts, 1' i 2', i que, referides a les projeccions corresponents de l'altre pla, ens completen les dues projeccions i' - i'' de la recta d'intersecció entre els dos plans; (Fig. 8).

L'estudi de la visibilitat de la projecció vertical es realitza comparant els allunyaments de parelles de punts coincidents a la projecció vertical; referint a projecció horitzontal els punts 3'' i 4'', comprovem que, en aquests punts, el pla ABC té més allunyament que el pla DEF; per tant, el primer dels plans està per davant i tapa el segon a la projecció vertical. Com al cas anterior, a partir del coneixement d'aquesta visibilitat parcial, ja podem completar la visibilitat del conjunt; si ho considerem necessari, podem tornar a comparar els allunyaments de noves parelles de punts coincidents a la projecció vertical.

A les Aplicacions pràctiques d'aquesta unitat veurem la determinació d'interseccions entre recta i pla, i entre plans, quan aquests no tinguin la posició favorable dels quatre casos que acabem de resoldre.

Interseccions de recta i pla

L'element comú entre una recta i un pla, quan no són paral·lels ni coplanaris, és un punt com podem veure a la representació de la figura 3. En projeccions dièdriques, el cas més fàcil, per tal de determinar-hi aquesta intersecció, és quan el pla és projectant horitzontal o vertical; ho veiem per a cadascun d'aquests plans, amb l'estudi de la visibilitat corresponent:

• Intersecció d'una recta amb un pla de cantell
A la figura 4 determinem la intersecció entre el pla ABC, projectant vertical, i la recta r. La característica d'aquest pla, perpendicular al pla vertical de projecció, és que la projecció vertical de qualsevol element contingut en ell es troba a sobre del segment A''B''C'' (o de la seva prolongació). La projecció vertical I'' del punt d'intersecció buscat, per pertànyer simultàniament a la recta i al pla, ha d'estar necessàriament a la intersecció entre les respectives projeccions verticals. Des d'I'', i amb correspondència dièdrica, determinem I' damunt de la projecció r' de la recta.

Si considerem el pla opac, el punt I d'intersecció separa les parts vistes i ocultes de la recta r. Determinem la visibilitat a la projecció horitzontal, comparant les cotes de dos punts coincidents a aquesta projecció, un de la recta i l'altre del pla. Passem a la projecció vertical els punts 1' i 2', coincidents a la projecció horitzontal i que, a la projecció vertical, en situem un a la recta i l'altre al pla; així comprovem que el punt situat a la projecció vertical de la recta té menys cota que el situat al pla, per tant, en aquest punt, la recta està per sota del pla i, a la projecció horitzontal, quedarà tapada per aquest. A l'altre extrem de la recta, separat de l'anterior pel punt d'intersecció amb el pla, la visibilitat és oposada tal com comprovem al comparar les cotes dels punts 3' i 4', coincidents a la projecció horitzontal de recta i pla.

• Intersecció d'una recta amb un pla vertical
Quan el pla ABC és vertical, projectant horitzontal, trobem I' al punt d'intersecció entre r' i la projecció horitzontal del pla, (Fig. 5). I'' es troba en correspondència dièdrica amb I' i a sobre de la projecció vertical r'' de la recta.

L'estudi de la visibilitat de la projecció vertical es realitza comparant els allunyaments de dos punts coincidents a la projecció vertical; referint a la projecció horitzontal els punts 1'' i 2'', comprovem que, en aquest punts, la recta té més allunyament que el pla, per tant, està per davant i el tapa a la projecció vertical. Als punts coincidents 3'' i 4'', al comparar els allunyaments, és el pla qui està per davant de la recta i, a la projecció vertical, l'ocultarà.

Interseccions de rectes

Les rectes que es tallen, a més d'estar contingudes al mateix pla, han de tenir un punt en comú al qual anomenem punt d'intersecció de les dues rectes. A les projeccions dièdriques aquest punt I d'intersecció és el punt on es tallen les projeccions homònimes de les dues rectes i que ha de tenir les projeccions en correspondència dièdrica.

Sellos

Recursos